技术问询：求序列项数与给定总体积下的堆叠立方体数量

1. 求一个序列中的项数 #

求序列的项数，核心得看序列的类型，常见情况如下：

• 连续整数序列：比如从a到b（a ≤ b，均为整数）的序列，项数直接是 b - a + 1。比如序列5,6,7,...,12，项数就是12-5+1=8。
• 等差数列：如果序列是首项为a₁、末项为aₙ、公差为d的等差数列，项数公式为：

  项数 = (末项 - 首项) / 公差 + 1
  

  举个例子，序列2,5,8,...,23，首项2，末项23，公差3，项数就是(23-2)/3 +1=8。
• 其他序列：比如等比数列或者自定义规则的序列，需要先明确序列的通项公式，再通过通项公式反推项数（比如令通项等于末项，解方程求项数序号）。

2. 根据立方体堆叠总体积求个数n #

你提到的这个立方体堆叠问题，其实有个经典的立方和求和公式可以直接用，比展开计算高效太多：

1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ = [n(n+1)/2]²

简单来说，从1到n的立方和，等于前n个正整数和的平方。

求解步骤 #

已知总体积m，求n的具体步骤如下：

1. 验证m是否为完全平方数：先计算s = √m，如果s不是整数，说明不存在符合条件的整数n（因为左边是整数的平方，结果必然是完全平方数）。
2. 解二次方程求n：得到s后，解方程 n(n+1)/2 = s，整理成标准二次方程：n² + n - 2s = 0，用求根公式：

   n = [-1 + √(1 + 8s)] / 2
   

   这里的结果必须是正整数，才是有效的立方体个数n。

示例验证 #

比如已知m=100：

• 第一步：√100=10，是整数；
• 第二步：代入求根公式，√(1+8*10)=√81=9，则n=(-1+9)/2=4；
• 验证：1³+2³+3³+4³=1+8+27+64=100，完全正确。

如果你之前想通过展开每个立方项来推导，其实也能得到相同的公式，但过程会繁琐很多。比如把(n-k)³展开后求和，最终也会化简到上述的平方公式，但直接用现成公式显然更省心。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Richard Marin