如何计算多类不同失败概率、不同尝试次数事件的平均收益？

嘿，我来帮你一步步拆解这个问题——毕竟类似的概率期望计算在社区里挺常见的，刚好能结合你提到的「多次尝试、两类事件」场景来梳理。

首先得明确：你要的「平均收益」本质就是期望总收益，而期望的线性性质是这里的核心（不管事件之间是否独立，这个性质都成立，省了超多麻烦）。下面分步骤来：

第一步：先明确单个事件的基础参数 #

先把两类事件的核心参数理清楚（以你提到的事件A为例，你可以把事件B的参数补进去套公式）：

• 事件A：失败概率P_A_fail = 0.38，所以成功概率P_A_success = 1 - 0.38 = 0.62
• 假设每次尝试事件A：成功时得收益R_A_success，失败时得收益R_A_fail（如果失败没收益就填0）
• 单次尝试事件A的期望收益：
  E[A_single] = P_A_success * R_A_success + P_A_fail * R_A_fail

同理，事件B的参数可以照葫芦画瓢：

• 事件B：失败概率P_B_fail，成功概率P_B_success = 1 - P_B_fail
• 单次收益：成功得R_B_success，失败得R_B_fail
• 单次期望收益：E[B_single] = P_B_success * R_B_success + P_B_fail * R_B_fail

第二步：扩展到多次尝试的期望收益 #

如果事件A有N_A次独立尝试，事件B有N_B次独立尝试：

• 事件A的总期望收益：E[A_total] = N_A * E[A_single]（因为每次尝试的期望是独立的，直接乘次数就行）
• 事件B的总期望收益：E[B_total] = N_B * E[B_single]

第三步：计算总平均收益 #

两类事件的总平均收益就是两者的期望之和：
E[Total] = E[A_total] + E[B_total] = N_A * E[A_single] + N_B * E[B_single]

举个具体的例子（帮你理解） #

假设我们补全一些参数：

• 事件A：失败概率38%，每次成功得10分，失败得0分，尝试5次
• 事件B：失败概率25%，每次成功得15分，失败得2分，尝试3次

计算过程：

1. 事件A单次期望：0.62 * 10 + 0.38 * 0 = 6.2 分
2. 事件A总期望：5 * 6.2 = 31 分
3. 事件B单次期望：0.75 * 15 + 0.25 * 2 = 11.75 分
4. 事件B总期望：3 * 11.75 = 35.25 分
5. 总平均收益：31 + 35.25 = 66.25 分

特殊情况：收益和成功次数挂钩（比如非线性收益） #

如果你的收益不是单次固定，而是和「成功次数的函数」挂钩（比如成功k次得f(k)分），那就要用二项分布来计算期望：
对于事件A，成功次数服从二项分布Binomial(N_A, P_A_success)，收益期望为：
E[A_total] = Σ（k从0到N_A）[ C(N_A, k) * (P_A_success)^k * (P_A_fail)^(N_A -k) * f(k) ]
（其中C(N_A, k)是组合数，代表从N_A次尝试中选k次成功的组合数）

举个简化的例子：如果事件A成功k次得2^k分，尝试5次，我们可以用二项式定理简化计算：
E[A_total] = (P_A_success*2 + P_A_fail)^N_A = (0.62*2 + 0.38)^5 = 1.62^5 ≈ 10.57

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Phedg1