酉算子谱证明：求证复希尔伯特空间上酉算子U的谱σ(U)⊂{z∈ℂ:|z|=1}

我们要证明：复希尔伯特空间上的酉算子 ( U ) 的谱 ( \sigma(U) ) 满足 ( \sigma(U) \subseteq { z \in \mathbb{C} : |z| = 1 } )。核心思路是证明所有模长不等于1的复数都不在谱里，也就是当 ( |z| \neq 1 ) 时，( U - zI ) 是可逆算子。

方法一：利用酉算子的伴随性质（( U^U = UU^ = I )） #

首先回忆酉算子的两个关键性质：

• ( U ) 可逆，且逆算子就是它的伴随 ( U^{-1} = U^* )
• 酉算子的算子范数 ( | U | = 1 )（因为 ( | Ux |^2 = \langle Ux, Ux \rangle = \langle x, U^*Ux \rangle = \langle x, x \rangle = | x |^2 )，对所有 ( x \in H ) 成立）

情况1：( |z| > 1 ) #

我们把 ( U - zI ) 改写为：

U - zI = -z \left( I - z^{-1}U \right)

计算 ( z^{-1}U ) 的范数：( | z^{-1}U | = |z|^{-1} | U | = \frac{1}{|z|} < 1 )。

根据Neumann级数定理：若有界线性算子 ( T ) 满足 ( | T | < 1 )，则 ( I - T ) 可逆，且其逆为 ( \sum_{n=0}^\infty T^n )（级数按算子范数收敛）。

这里 ( T = z^{-1}U )，所以 ( I - z^{-1}U ) 可逆。而 ( -z ) 是非零复数（相当于数乘算子，显然可逆），因此 ( U - zI ) 是两个可逆算子的乘积，必然可逆。这说明 ( z \notin \sigma(U) )。

情况2：( |z| < 1 ) #

同样改写 ( U - zI )：

U - zI = U \left( I - zU^* \right)

因为 ( U ) 是酉算子，( | U^* | = | U | = 1 )，所以 ( | zU^* | = |z| | U^* | = |z| < 1 )。

再次用Neumann级数定理，( I - zU^* ) 可逆。而 ( U ) 本身是可逆算子，所以 ( U - zI ) 作为可逆算子的乘积也可逆，因此 ( z \notin \sigma(U) )。

方法二：利用近似特征值的性质（更直观） #

谱点的一个等价刻画是：( z \in \sigma(U) ) 当且仅当存在单位向量序列 ( { x_n } \subseteq H )，使得 ( | (U - zI)x_n | \to 0 )（这类点称为近似特征值，谱包含所有近似特征值）。

假设 ( z \in \sigma(U) )，则存在这样的单位向量序列 ( { x_n } )，展开范数：

\| Ux_n - zx_n \|^2 = \| Ux_n \|^2 + |z|^2 \| x_n \|^2 - 2\operatorname{Re} \langle Ux_n, zx_n \rangle

因为 ( U ) 保内积，( | Ux_n | = | x_n | = 1 )，代入得：

\| Ux_n - zx_n \|^2 = 1 + |z|^2 - 2\operatorname{Re} \left( z \langle x_n, U^*x_n \rangle \right)

注意 ( \langle x_n, U^*x_n \rangle = \langle Ux_n, x_n \rangle )，且由柯西-施瓦茨不等式，( |\langle Ux_n, x_n \rangle| \leq | Ux_n | | x_n | = 1 )。

当 ( | (U - zI)x_n | \to 0 ) 时，左边趋近于0，因此：

1 + |z|^2 = 2\operatorname{Re} \left( z \langle Ux_n, x_n \rangle \right)

对右边取绝对值，有：

|1 + |z|^2| = 2 \left| \operatorname{Re} \left( z \langle Ux_n, x_n \rangle \right) \right| \leq 2 |z| \cdot |\langle Ux_n, x_n \rangle| \leq 2|z|

整理得 ( 1 + |z|^2 \leq 2|z| )，即 ( (|z| - 1)^2 \leq 0 )。因为平方数非负，所以只能 ( |z| = 1 )。

综上，无论哪种方法都能证明：酉算子的谱只能落在复平面的单位圆上。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者David