求证：$O(n)$中过$ ext{Id}_n$的光滑曲线在0点的导数为斜伴随矩阵

嘿，你找对方向了！物理里向量点积的导数关系和这个问题的核心逻辑是相通的——都是利用正交变换保持内积不变的性质，咱们一步步来推导：

核心前提：正交矩阵的定义 #

首先回忆正交矩阵的关键性质：对于任意$t \in I$，因为$c(t) \in O(n)$，所以必然满足：
$$c(t)^T c(t) = \text{Id}_n$$
这个等式是整个证明的基础，它本质上就是正交变换保持向量内积不变的矩阵表达形式（对应你想到的物理中点积的性质）。

对等式两边求导 #

接下来对上述等式关于$t$求导，这里要用到矩阵乘积的求导法则：$(AB)' = A'B + AB'$。对左边求导后得到：
$$\frac{d}{dt}\left(c(t)^T c(t)\right) = c'(t)^T c(t) + c(t)^T c'(t)$$
右边是单位矩阵的导数，显然是零矩阵：
$$\frac{d}{dt}\text{Id}_n = \mathbf{0}$$
所以我们得到导数的等式：
$$c'(t)^T c(t) + c(t)^T c'(t) = \mathbf{0}$$

代入$t=0$的条件 #

已知$c(0) = \text{Id}_n$，而单位矩阵的转置等于自身，即$c(0)^T = \text{Id}_n^T = \text{Id}_n$。把$t=0$代入上面的导数等式：
$$c'(0)^T \cdot \text{Id}_n + \text{Id}_n \cdot c'(0) = \mathbf{0}$$
因为任何矩阵和单位矩阵相乘都等于自身，所以上式可以简化为：
$$c'(0)^T + c'(0) = \mathbf{0}$$
这正好就是斜伴随（反对称）矩阵的定义！

关联你想到的物理点积关系 #

顺便补充一下和物理直觉的联系：如果把$c(t)$看作是欧氏空间中的正交变换，那么对于任意向量$\mathbf{u}, \mathbf{v}$，有$\langle c(t)\mathbf{u}, c(t)\mathbf{v} \rangle = \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle$。对$t$求导并代入$t=0$：
$$\langle c'(0)\mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle + \langle \mathbf{u}, c'(0)\mathbf{v} \rangle = 0$$
这和矩阵的斜伴随性质是完全等价的，是不是完美对应你想到的物理点积导数关系？

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Michael M