当$b_n\overset{d}{\to}N(0,1)$时，条件$a_n\overset{a.s.}{\to}0$能否推出$a_n\overset{p}{\to}0$？

我们可以通过构造反例结合收敛性定义来拆解这个问题：

关键概念梳理 #

• $b_n\overset{d}{\to}N(0,1)$：意味着对标准正态分布的累积分布函数$\Phi(x)$，$\lim_{n\to\infty}P(b_n \leq x) = \Phi(x)$对所有连续点$x$成立。特别地，$P(|b_n| \geq c)$会收敛到$2(1-\Phi(c))$——这是一个固定的正数（因为$0<c<\infty$，标准正态在$|x|\geq c$区间的概率不为0）。
• 题目中“当$|b_n|<c$时，$a_n\overset{a.s.}{\to}0$”：可以理解为，对几乎所有样本点$\omega$，只要$|b_n(\omega)|<c$，$a_n(\omega)$就会随$n$趋于0。

构造反例 #

假设$b_n$是独立同分布的标准正态随机变量（显然满足$b_n\overset{d}{\to}N(0,1)$），定义$a_n$如下：

• 当$|b_n| \geq c$时，$a_n = 1$；
• 当$|b_n| < c$时，$a_n = \frac{1}{n}$。

验证符合题设条件 #

• 当$|b_n|<c$时，$a_n=\frac{1}{n}$，显然对所有样本点$\omega$，只要$|b_n(\omega)|<c$，$a_n(\omega)$就会趋于0，满足$a_n\overset{a.s.}{\to}0$的条件；
• $b_n$是独立同分布标准正态，自然满足$b_n\overset{d}{\to}N(0,1)$。

验证不满足依概率收敛 #

取$\epsilon = 0.5$，计算$P(|a_n| > \epsilon)$：
$$
P(|a_n| > 0.5) = P(|b_n| \geq c) + P(|b_n| < c, \frac{1}{n} > 0.5)
$$
当$n > 2$时，第二项$P(|b_n| < c, \frac{1}{n} > 0.5) = 0$，因此：
$$
P(|a_n| > 0.5) = P(|b_n| \geq c) \to 2(1-\Phi(c)) > 0
$$
这说明$P(|a_n| > \epsilon)$始终保持一个正数，不趋于0，因此$a_n$不依概率收敛到0。

本质原因 #

依概率收敛要求$|a_n|$超过任意小$\epsilon$的概率趋于0，但题设条件只约束了$|b_n|<c$时$a_n$的行为，而$|b_n|\geq c$的概率始终是一个非零常数（不趋于0）。我们可以在这个事件上让$a_n$保持非零值，从而破坏依概率收敛的要求。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Bayesric