求与直线相切且正交于已知圆的圆的参数h、r（已得k=11/2）

嘿，你已经搞定了最关键的一步算出$k=\dfrac{11}{2}$，接下来利用圆与直线相切的核心条件，就能轻松求出$h$和$r$啦：

• 第一步：用切线与半径垂直的性质求$h$
  因为圆和直线$x+y=5$在点$(-2,7)$处相切，所以圆心$(h,k)$和切点$(-2,7)$的连线（也就是半径），必然和切线$x+y=5$垂直。
  先看切线的斜率：把直线整理成斜截式$y=-x+5$，斜率是$-1$。根据垂直直线斜率乘积为$-1$的性质，半径所在直线的斜率应该是$1$。
  用斜率公式列方程：
  $$\frac{k - 7}{h + 2} = 1$$
  把已经算出的$k=\dfrac{11}{2}$代入进去：
  $$\frac{\dfrac{11}{2} - 7}{h + 2} = 1$$
  计算分子部分：$\dfrac{11}{2} - 7 = \dfrac{11}{2} - \dfrac{14}{2} = -\dfrac{3}{2}$，所以方程变成：
  $$-\dfrac{3}{2} = h + 2$$
  解得$h = -\dfrac{3}{2} - 2 = -\dfrac{7}{2}$。

• 第二步：计算半径$r$
  半径$r$就是圆心$(h,k)$到切点$(-2,7)$的距离，用距离公式直接计算：
  $$r = \sqrt{(h + 2)^2 + (k - 7)^2}$$
  代入$h=-\dfrac{7}{2}$、$k=\dfrac{11}{2}$：
  $$r = \sqrt{\left(-\dfrac{7}{2} + 2\right)^2 + \left(\dfrac{11}{2} - 7\right)^2} = \sqrt{\left(-\dfrac{3}{2}\right)^2 + \left(-\dfrac{3}{2}\right)^2} = \sqrt{\dfrac{9}{4} + \dfrac{9}{4}} = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}$$
  你也可以用圆心到切线的距离等于半径来验证，结果完全一致：
  直线$x+y=5$写成标准式是$x+y-5=0$，代入点到直线的距离公式：
  $$r = \dfrac{\left|-\dfrac{7}{2} + \dfrac{11}{2} - 5\right|}{\sqrt{1²⁺¹2}} = \dfrac{\left|2 - 5\right|}{\sqrt{2}} = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}$$

最后把圆心和半径代入圆的标准方程，就能得到最终所求的圆的方程：
$$\left(x + \dfrac{7}{2}\right)^2 + \left(y - \dfrac{11}{2}\right)^2 = \dfrac{9}{2}$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者jacky