求解二阶线性常微分方程：已知特解求通解步骤咨询

没问题，我来一步步带你解这个方程。既然已经知道一个特解$y_1=1+x$，咱们可以用降阶法（基于刘维尔公式）来找到另一个线性无关的特解，进而得到方程的通解。

步骤1：将方程化为标准形式 #

首先把原方程两边除以$x$（注意$x\neq0$，这是方程有定义的区间），转化为二阶线性齐次方程的标准形式$y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0$：
$$
y'' - \frac{1+x}{x}y' + \frac{1}{x}y = 0
$$
这里$P(x) = -\frac{1+x}{x} = -1 - \frac{1}{x}$。

步骤2：利用刘维尔公式求第二个特解 #

对于标准形式的二阶线性齐次方程，已知一个特解$y_1$，另一个线性无关的特解$y_2$可以通过以下公式计算：
$$
y_2 = y_1 \int \frac{e^{-\int P(x)dx}}{y_1^2} dx
$$

计算$e^{-\int P(x)dx}$：

先计算积分$\int P(x)dx$：
$$
\int P(x)dx = \int \left(-1 - \frac{1}{x}\right)dx = -x - \ln|x| + C
$$
那么$e^{-\int P(x)dx}$就等于：
$$
e^{-\left(-x - \ln|x|\right)} = e^{x + \ln|x|} = x e^x
$$
（常数项$C$可以忽略，因为我们只需要一个特解）

计算被积函数并积分：

已知$y_1=1+x$，所以$y_1^2=(1+x)2$，被积函数为：
$$
\frac{x e^x}{(1+x)2}
$$
这里可以观察到一个巧妙的导数结果：$\frac{d}{dx}\left(\frac{e^x}{1+x}\right) = \frac{e^x(1+x) - e^x}{(1+x)2} = \frac{x e^x}{(1+x)2}$，刚好就是我们的被积函数！所以积分结果为：
$$
\int \frac{x e^x}{(1+x)2} dx = \frac{e^x}{1+x} + C
$$
取常数$C=0$，代入$y_2$的公式：
$$
y_2 = (1+x) \cdot \frac{e^x}{1+x} = e^x
$$

步骤3：验证$y_2=e^x$是方程的解 #

把$y_2=e^x$代入原方程验证：
左边$= x \cdot \frac{d^2}{dx2}(e^x) - (1+x) \cdot \frac{d}{dx}(e^x) + e^x = x e^x - (1+x)e^x + e^x$
化简后：$x e^x - e^x - x e^x + e^x = 0$，完全等于右边，说明$y_2=e^x$确实是方程的解。

同时，$y_1=1+x$和$y_2=e^x$是线性无关的，因为它们的朗斯基行列式：
$$
W(y_1,y_2) = \begin{vmatrix}1+x & e^x \ 1 & e^x\end{vmatrix} = (1+x)e^x - e^x = x e^x \neq 0 \quad (x\neq0)
$$

步骤4：写出方程的通解 #

二阶线性齐次方程的通解是两个线性无关特解的线性组合，所以：
$$
y = C_1(1+x) + C_2 e^x
$$
其中$C_1$和$C_2$是任意常数。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user527123