求证：V中所有非零向量为T的特征向量时T是数乘算子，证明是否正确？

首先先明确咱们要讨论的核心命题：
∀v∈V(v≠0 ⟹ ∃λ∈F(Tv = λv))⟹∃k∈F∀v∈V(Tv = kv)
换句话说就是：若线性空间V中的所有非零向量都是线性算子T的特征向量，则T是数乘算子

已知参考结论(25) #

设$T∈ℒ(V)$，u和v是T的特征向量，且u+v也是T的特征向量，则u和v对应相同的特征值。

定理与证明分析 #

定理：设$T∈ℒ(V)$，若V中的所有非零向量都是T的特征向量，证明T是数乘算子。

你开头“任取V中的非零向量u，则存在k∈F使得Tu=ku”这个思路完全没问题，但要把整个证明补严谨，才能完整推导结论。结合已知的结论(25)，我们可以把证明补全得更顺畅：

• 先任取V中两个任意的非零向量u和v；
• 情况1：如果u+v≠0，根据题设，u+v也是T的特征向量。此时u、v都是T的特征向量，且它们的和也是特征向量，直接套用结论(25)，就能得出u和v对应的特征值相等；
• 情况2：如果u+v=0，那v=-u，根据线性算子的性质，$Tv=T(-u)=-Tu=-k_u u=k_u v$，这说明v的特征值和u的特征值是同一个；
• 这就意味着V中所有非零向量的特征值都是同一个常数k；
• 最后考虑零向量：$T(0)=0=k·0$，显然成立；
• 综上，对任意v∈V，都有$Tv=kv$，所以T是数乘算子。

简单来说，你的开头方向是对的，只是需要补充对“所有向量特征值一致”的推导，结合已知结论就能快速完成整个证明啦～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者atifcppprogrammer