停时识别技术问询：判断给定变量是否为停时（概率空间背景）

先给你梳理下核心逻辑：我们默认用随机过程$(Y_t)_{t=0}^\infty$的自然滤过$\mathcal{F}_t = \sigma(Y_0, Y_1, ..., Y_t)$——简单说就是前$t$时刻所有能观测到的信息集合。而停时的核心要求是：对任意$t \in \mathbb{N}_0$，只用$\mathcal{F}_t$里的信息，就能判断“停时是否已经在$t$或更早发生”（也就是事件${\tau \leq t}$必须属于$\mathcal{F}_t$）。

现在逐个分析这四个变量：

• $\tau_1 = \inf{ t \in \mathbb{N}_0 ; Y_t = 10 }$
  这是“第一次出现$Y_t=10$的时刻”。对任意$t$，${\tau_1 \leq t}$等价于“$Y_0$到$Y_t$里至少有一个等于10”——完全可以通过前$t$时刻的观测确定，符合停时的定义。结论：$\tau_1$是停时。

• $\tau_2 = \inf{ t \in \mathbb{N}_0 ; Y_t \in {2,5,7} }$
  和$\tau_1$逻辑一致，这是“第一次让$Y_t$落在${2,5,7}$里的时刻”。${\tau_2 \leq t}$就是“前$t$时刻的$Y_s$（$s≤t$）有至少一个在目标集合里”，只用前$t$的观测就能判断，满足停时条件。结论：$\tau_2$是停时。

• $\tau_3 = \inf{ t \in \mathbb{N}0 ; Y{t+1} \in {2,5,7} }$
  这个要注意：它是“第一次让下一个时刻的$Y$落在目标集合里的当前时刻”。比如当$t=0$时，${\tau_3 ≤0}$就是${Y_1 ∈ {2,5,7}}$——但$\mathcal{F}_0$只有$Y_0$的信息，我们没法知道$Y_1$的值，所以这个事件不属于$\mathcal{F}0$，直接违反了停时的要求。对任意$t$，${\tau_3 ≤t}$需要用到$Y{t+1}$的信息，而这不在前$t$时刻的观测范围内。结论：$\tau_3$不是停时。

• $\tau_4 = \sup{ t \in \mathbb{N}_0 ; Y_t = 3}$
  这是“最后一次出现$Y_t=3$的时刻”。要判断${\tau_4 ≤t}$，意味着“所有$t$之后的时刻$s>t$，$Y_s$都不等于3”——这需要知道未来无穷多时刻的$Y$值，显然没法只用前$t$时刻的观测确定。反过来想，${\tau_4 >t}$是“$t$之后还有$Y_s=3$”，这个事件依赖未来信息，不属于$\mathcal{F}_t$。结论：$\tau_4$不是停时。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Killuminati