曲线参数化相关问题：满足端点条件的C¹映射是否必为单射？

嘿，这个问题的答案是不一定——满足条件的$g$未必是单射映射。我给你举个直观的例子，再解释背后的逻辑：

构造反例 #

首先取一个简单的单射$C^1$映射$f$：令$f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2$，定义为$f(t) = (t, t^{2)$，它的像就是抛物线$y=x}2$上从$(0,0)$到$(1,1)$的一段光滑简单曲线（因为$f$是单射且导数连续非零）。

接下来构造$g: [0,3] \rightarrow Im(f)$：

• 当$s \in [0,1]$时，$g(s) = (s, s^2)$（沿着抛物线从起点走到终点）；
• 当$s \in [1,2]$时，$g(s) = (2-s, (2-s)^2)$（沿着抛物线从终点走回起点）；
• 当$s \in [2,3]$时，$g(s) = (s-2, (s-2)^2)$（再次从起点走到终点）。

为了让$g$是$C^1$映射，我们可以用光滑过渡函数（比如C∞的截断函数）把$s=1$和$s=2$处的“拐角”抹平，保证导数在这些点连续。这样调整后的$g$完全满足：

• $g(0) = (0,0) = f(0)$，$g(3) = (1,1) = f(1)$；
• $g$是$C^1$映射，且值域完全在$Im(f)$中。

但显然$g$不是单射：比如$g(0) = g(2) = (0,0)$，同一个点被映射了两次。

背后的逻辑 #

$f$的像$Im(f)$是一条光滑简单曲线（因为$f$是单射$C^1$映射），但问题中对$g$的要求仅仅是：从曲线的起点出发，光滑地走到曲线的终点，全程落在这条曲线上。它并没有限制$g$不能“回头走”或者“重复经过曲线上的点”。只要我们让$g$在曲线上往返几次，再最终走到终点，就会出现重复的映射点，破坏单射性。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者SKumar