设k为参数，求方程cosx=k sin(x/4)在(0,8π)内的解的个数

首先通过变量替换 ( x=4t )，将原方程转化为 ( \cos4t = k\sin t )，其中 ( t \in (0,2\pi) )（对应 ( x \in (0,8\pi) )）。利用三角恒等式展开 ( \cos4t )，令 ( u=\sin t )，方程进一步转化为关于 ( u ) 的四次多项式：
$$8u^4 -8u^2 -ku +1=0$$
其中 ( u \in [-1,1] )，且每个 ( u \in (-1,1) ) 对应两个 ( t ) 值（( u=\pm1 ) 仅对应一个 ( t ) 值）。我们通过分析多项式 ( f(u)=8u^4 -8u^2 -ku +1 ) 在 ( [-1,1] ) 上的零点个数，结合 ( u=\sin t ) 的对应关系，得到原方程解的个数：

分情况讨论参数 ( k ) #

1. 当 ( |k| > \frac{16\sqrt{6}}{9} \approx 4.359 ) #

• ( f(u) ) 在 ( [-1,1] ) 上单调（导数恒负或恒正），仅在 ( (0,1) ) 或 ( (-1,0) ) 存在1个零点；
• 每个零点对应2个 ( t ) 值，因此原方程有 2个解。

2. 当 ( |k| = \frac{16\sqrt{6}}{9} \approx 4.359 ) #

• ( f(u) ) 在极值点处函数值不为零，仅在 ( (0,1) ) 或 ( (-1,0) ) 存在1个零点；
• 对应2个 ( t ) 值，原方程有 2个解。

3. 当 ( 1 < |k| < \frac{16\sqrt{6}}{9} \approx 4.359 ) #

• ( f(u) ) 在 ( (-1,0) ) 或 ( (0,1) ) 仅存在1个零点；
• 对应2个 ( t ) 值，原方程有 2个解。

4. 当 ( |k| = 1 ) #

• ( f(u) ) 有4个零点：( u=\pm1 )、以及另外两个在 ( (-1,1) ) 内的根；
• ( u=\pm1 ) 各对应1个 ( t ) 值，其余两个零点各对应2个 ( t ) 值，总共有 ( 1+2+2+2=7 ) 个 ( t )，对应原方程 7个解。

5. 当 ( \frac{\sqrt{6}}{9} \approx 0.272 < |k| < 1 ) #

• 以 ( k>0 ) 为例，( f(u) ) 在 ( (0,1) ) 有2个零点，( (-1,0) ) 无零点；
• 每个零点对应2个 ( t ) 值，总共有 ( 2\times2=4 ) 个解；同理 ( k<0 ) 时也是4个解。

6. 当 ( |k| = \frac{\sqrt{6}}{9} \approx 0.272 ) #

• 以 ( k>0 ) 为例，( f(u) ) 在 ( u=-\frac{1}{\sqrt{6}} ) 处有一个零点（对应2个 ( t )），同时 ( (0,1) ) 有2个零点（对应4个 ( t )）；
• 总共有 ( 2+4=6 ) 个解；同理 ( k<0 ) 时也是6个解。

7. 当 ( 0 \leq |k| < \frac{\sqrt{6}}{9} \approx 0.272 ) #

• ( f(u) ) 在 ( (-1,0) ) 和 ( (0,1) ) 各有2个零点，共4个零点；
• 每个零点对应2个 ( t ) 值，总共有 ( 4\times2=8 ) 个解（( k=0 ) 时也符合此情况）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Fricul38