子代数同构问题：C中同构子代数A、B是否存在C的自同构映射A到B？

首先直接给结论：不是必然存在这样的自同构，哪怕把范围限定在矩阵代数范畴里，也能找到明确的反例。

一、核心逻辑：子代数同构≠嵌入方式等价 #

子代数之间的同构只是它们自身结构的等价，但它们在母代数中的“嵌入方式”（也就是如何作为子代数存在于母代数中）可能完全不同。母代数的自同构需要保持整个母代数的运算结构，因此它不仅要映射两个子代数的元素，还要保证这个映射和母代数的乘法、加法兼容——这就要求两个子代数在母代数里的“位置”足够对称，而仅仅子代数自身同构并不能保证这一点。

二、矩阵代数范畴的反例 #

我们可以用复数域上的矩阵代数构造简单反例：

考虑母代数 ( C = M_2(\mathbb{C}) \oplus M_2(\mathbb{C}) )（也就是所有形如 ( \begin{pmatrix} X & 0 \ 0 & Y \end{pmatrix} ) 的4×4分块对角矩阵，其中 ( X,Y \in M_2(\mathbb{C}) )）。

• 子代数 ( A )：所有形如 ( \begin{pmatrix} X & 0 \ 0 & X \end{pmatrix} ) 的矩阵，其中 ( X \in M_2(\mathbb{C}) )。显然 ( A ) 同构于 ( M_2(\mathbb{C}) )，因为每个元素对应唯一的 ( X )，运算完全对应。
• 子代数 ( B )：所有形如 ( \begin{pmatrix} X & 0 \ 0 & 0 \end{pmatrix} ) 的矩阵，其中 ( X \in M_2(\mathbb{C}) )。同样 ( B ) 也同构于 ( M_2(\mathbb{C}) )。

现在假设存在 ( C ) 的自同构 ( \phi ) 把 ( A ) 映射到 ( B )。我们知道 ( M_n(\mathbb{C}) \oplus M_n(\mathbb{C}) ) 的自同构只能是以下两种类型：

1. 交换两个分块：( \phi\left( \begin{pmatrix} X & 0 \ 0 & Y \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} Y & 0 \ 0 & X \end{pmatrix} )
2. 对每个分块单独取自同构（而 ( M_2(\mathbb{C}) ) 的自同构都是内自同构，即共轭变换）

但无论哪种自同构，都无法把 ( A ) 映射到 ( B )：

• 交换分块的话，( A ) 中的元素 ( \begin{pmatrix} X & 0 \ 0 & X \end{pmatrix} ) 会被映射到 ( \begin{pmatrix} X & 0 \ 0 & X \end{pmatrix} )，仍然属于 ( A )，到不了 ( B )。
• 对分块做共轭变换的话，( A ) 的元素还是保持两个分块相等的形式，也无法变成只有第一个分块非零的 ( B ) 元素。

这就证明了在矩阵代数中，确实存在同构但无法通过自同构映射的子代数。

三、更简单的交换代数例子（辅助理解） #

如果觉得矩阵例子有点复杂，我们可以用更基础的交换代数例子：

母代数 ( C = \mathbb{C} \oplus \mathbb{C} )（两个复数域的直和），子代数 ( A = { (a,a) \mid a \in \mathbb{C} } )，子代数 ( B = { (a,0) \mid a \in \mathbb{C} } )。

( A ) 和 ( B ) 都同构于 ( \mathbb{C} )，但 ( C ) 的自同构只能是交换两个分量、对每个分量取复共轭，或者两者结合。无论哪种自同构，都无法把 ( A ) 映射到 ( B )：

• 交换分量会把 ( (a,a) ) 变成 ( (a,a) )，仍然在 ( A ) 里；
• 复共轭也只会把 ( (a,a) ) 变成 ( (\overline{a},\overline{a}) )，还是在 ( A ) 里；
• 任何自同构都无法将 ( A ) 中“两个分量相等”的元素映射到 ( B ) 中“第二个分量为0”的元素，因为这会破坏自同构的双射性（比如会把 ( (0,1) ) 这样的元素映射到0，导致非单射）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者mirewine