求θ²/2的极小多项式 判定其是否为ℚ(θ)中的代数整数

没问题，我来一步步帮你拆解这个问题～

首先，我们设$\alpha = \frac{\theta^2}{2}$，目标是找到$\alpha$满足的首一有理系数不可约多项式（也就是极小多项式），再通过这个多项式判断$\alpha$是否为$\mathbb{Q}(\theta)$中的代数整数。

步骤1：利用θ的方程建立α与θ的关系 #

已知$\theta$是多项式$X^3 - 2X - 2$的根，所以$\theta^3 = 2\theta + 2$。
因为$\alpha = \frac{\theta^{2}{2}$，所以$\theta}2 = 2\alpha$。我们可以把$\theta^3$用两种方式表达：
$\theta^3 = \theta \cdot \theta^2 = \theta \cdot 2\alpha = 2\alpha\theta$
同时$\theta^3 = 2\theta + 2$，联立这两个等式可得：
$2\alpha\theta = 2\theta + 2$

步骤2：用α表示θ #

对上面的等式移项整理：
$2\alpha\theta - 2\theta = 2$
$\theta(2(\alpha - 1)) = 2$
化简后直接得到$\theta$关于$\alpha$的表达式：
$\theta = \frac{1}{\alpha - 1}$

步骤3：代入θ的方程得到α的多项式 #

既然$\theta$满足$\theta^3 - 2\theta - 2 = 0$，把$\theta = \frac{1}{\alpha - 1}$代入这个方程：
$\left(\frac{1}{\alpha - 1}\right)^3 - 2 \cdot \frac{1}{\alpha - 1} - 2 = 0$
为了消去分母，两边同时乘以$(\alpha - 1)^3$：
$1 - 2(\alpha - 1)^2 - 2(\alpha - 1)^3 = 0$

步骤4：展开并整理多项式 #

先展开平方和立方项：
$(\alpha - 1)^2 = \alpha^2 - 2\alpha + 1$
$(\alpha - 1)^3 = \alpha^3 - 3\alpha^2 + 3\alpha - 1$
代入原式并展开计算：
$1 - 2(\alpha^2 - 2\alpha + 1) - 2(\alpha^3 - 3\alpha^2 + 3\alpha - 1) = 0$
$1 - 2\alpha^2 + 4\alpha - 2 - 2\alpha^3 + 6\alpha^2 - 6\alpha + 2 = 0$
合并同类项后得到：
$-2\alpha^3 + 4\alpha^2 - 2\alpha + 1 = 0$
两边乘以-1，得到首项系数为正的多项式：
$2\alpha^3 - 4\alpha^2 + 2\alpha - 1 = 0$

步骤5：验证极小多项式并判断代数整数性 #

• 极小多项式验证：用有理根定理检查，可能的有理根是$\pm1, \pm\frac{1}{2}$，代入后都不满足方程，说明这个三次多项式在$\mathbb{Q}$上不可约，因此它就是$\alpha = \frac{\theta^2}{2}$的极小多项式。
• 代数整数判断：代数整数的定义是存在首一整系数多项式以它为根。而我们得到的极小多项式首项系数是2，不是1，且因为它不可约，不存在首一整系数多项式以$\alpha$为根（否则极小多项式会整除该首一多项式，首项系数必须为$\pm1$，与当前首项系数2矛盾）。因此$\frac{\theta^2}{2}$不是$\mathbb{Q}(\theta)$中的代数整数。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user497174