用牛顿法与试位法计算√5并求15位精度迭代次数

嘿，我来帮你搞定试位法的部分，顺便把整个问题的解法梳理清楚～

问题本质回顾 #

求√5等价于求解方程 $f(x) = x^2 - 5 = 0$ 的正根，这是两种迭代方法的核心目标。

牛顿法（你已完成的部分） #

你给出的牛顿法迭代公式是：
$$x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}$$
针对 $f(x)=x^2-5$，导数 $f'(x)=2x$，代入后公式可简化为：
$$x_{k+1} = \frac{1}{2}\left(x_k + \frac{5}{x_k}\right)$$
这是二次收敛的迭代方法，收敛速度极快，通常3-4次迭代就能达到15位精度（和你用Python算出的结果一致）。

试位法（重点解决你的疑问） #

试位法（又称线性插值法）属于区间迭代法，需要先确定一个包含根的初始区间 $[l, r]$（满足 $f(l) \cdot f(r) < 0$），然后通过区间端点的线性插值生成新的迭代值，公式如下：
$$x_k = \frac{l \cdot f(r) - r \cdot f(l)}{f(r) - f(l)}$$
每次迭代后，根据 $f(x_k)$ 的符号更新区间：若 $f(l) \cdot f(x_k) < 0$，则将 $r$ 替换为 $x_k$；否则将 $l$ 替换为 $x_k$，重复直到满足精度要求。

试位法实现步骤（针对√5） #

1. 初始区间选择：因为 $2^2=4<5$，$32=9>5$，所以初始区间选 $[l=2, r=3]$，此时 $f(l)=-1$，$f(r)=4$，满足 $f(l)f(r)<0$。
2. 终止条件：要达到15位精度，我们可以设置迭代值与真实根 $\sqrt{5}$ 的绝对误差小于 $10^{-15}$。
3. Python代码实现

试位法的Python代码示例 #

def f(x):
    return x ** 2 - 5

def regula_falsi(target_precision=1e-15):
    l = 2.0
    r = 3.0
    iter_count = 0
    true_root = 5 ** 0.5  # 提前计算真实根用于精度判断
    
    while True:
        # 计算试位法迭代值
        x_k = (l * f(r) - r * f(l)) / (f(r) - f(l))
        iter_count += 1
        
        # 检查是否达到精度要求
        if abs(x_k - true_root) < target_precision:
            break
        
        # 更新区间
        if f(l) * f(x_k) < 0:
            r = x_k
        else:
            l = x_k
    
    return x_k, iter_count

# 执行并输出结果
calculated_root, iterations = regula_falsi()
print(f"试位法求得的√5: {calculated_root:.16f}")
print(f"达到15位精度所需迭代次数: {iterations}")

试位法迭代次数说明 #

试位法是线性收敛的，收敛速度远慢于牛顿法，因此达到15位精度需要的迭代次数大概在50次左右（具体数值运行代码即可得到）。需要注意的是，基础试位法偶尔会出现“单侧停滞”的情况（其中一个区间端点长期不变），可以通过加权改进优化，但基础版本已经能满足收敛要求，只是迭代次数较多。

两种方法对比 #

• 牛顿法：二次收敛，迭代次数极少，但需要计算导数，且对初始值敏感（初始值离根过远可能不收敛）。
• 试位法：线性收敛，迭代次数多，但属于区间方法，只要初始区间包含根就一定收敛，无需计算导数。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者undergrad