精确计算x₂₀并反向递推求xₙ：结果验证与递推特性分析

首先回顾原问题的核心信息：已知 ( x_n = \int_0^1 \frac{t^n}{t+5} dt )，已推导得到正向递推式：

( x_n = \frac{1}{n} - 5x_{n-1} )
且 ( x_0 = \ln\left(\frac{6}{5}\right) = \ln1.2 )

一、精确计算 ( x_{20} ) 的方法：截断泰勒级数展开 #

我们可以把被积函数 ( \frac{1}{t+5} ) 在区间 [0,1] 上展开成收敛的泰勒级数：
[
\frac{1}{t+5} = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{1 + \frac{t}{5}} = \frac{1}{5} \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \left( \frac{t}{5} \right)^k
]
这个级数在 ( t \in [0,1] ) 时绝对收敛，因此可以逐项积分：
[
x_n = \int_0^1 t^n \cdot \frac{1}{5} \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \left( \frac{t}{5} \right)^k dt = \frac{1}{5} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{5k} \int_0^1 t^{n+k} dt
]
计算积分项 ( \int_0^1 t^{n+k} dt = \frac{1}{n+k+1} )，代入后得到级数形式的 ( x_n )：
[
x_n = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{5{k+1}(n+k+1)}
]
对于 ( n=20 )，这个级数收敛极快（每一项都乘以 ( -1/5 )，绝对值呈指数衰减），只要截断到绝对值小于 ( 10^{-16} ) 的项，就能达到机器全精度。你可以用这段代码验证：

def compute_xn(n):
    total = 0.0
    k = 0
    while True:
        term = ((-1)**k) / (5**(k+1) * (n + k + 1))
        if abs(term) < 1e-16:
            break
        total += term
        k += 1
    return total

x20 = compute_xn(20)
print(f"高精度x20：{x20:.18f}")

二、反向递推的结果与表现分析 #

把原正向递推式变形为反向递推式：
[
x_{n-1} = \frac{1}{5} \left( \frac{1}{n} - x_n \right)
]
用高精度的 ( x_{20} ) 代入，依次计算 ( x_{19} ) 到 ( x_0 )。

结果正确性 #

• 最终得到的 ( x_0 ) 会非常接近 ( \ln1.2 )，双精度下误差几乎可以忽略，结果完全正确。
• 中间的 ( x_n )（比如 ( x_{10}、x_5 ) 等）也和直接用泰勒级数计算的结果高度吻合，精度达标。

反向递推与正向递推的表现差异 #

正向递推（从 ( x_0 ) 算到 ( x_{20} )）会出现严重的误差放大：每一步都要乘以5再做减法，机器浮点数的舍入误差会被指数级放大，到 ( x_{20} ) 时结果会完全失真。

而反向递推（从 ( x_{20} ) 算到 ( x_0 )）则是误差衰减的：每一步计算是除以5，舍入误差会被不断缩小，哪怕初始的 ( x_{20} ) 有微小误差，经过反向递推后，前面的 ( x_n ) 误差会越来越小，最终 ( x_0 ) 的精度极高。

核心原因 #

这是由递推关系的条件数决定的：

• 正向递推的递推因子是-5，绝对值大于1，属于不稳定递推，任何微小误差都会被指数级放大。
• 反向递推的递推因子是1/5，绝对值小于1，属于稳定递推，误差会被指数级衰减，计算结果会越来越准确。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Nash