20次插值多项式近似e^−x的误差分析与精度计算（定理对比）

我来一步步拆解这两个问题，帮你理清楚插值误差的计算和精度对比：

问题1：20次插值多项式近似$e^{-x}$的误差表达式 #

对于任意函数$f(x)$的n次插值多项式$L_n(x)$，插值误差的通用公式是：
$$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \prod_{k=0}^n (x - x_k)$$
这里的$\xi$是插值区间内的某个未知点，$x_k$是我们选取的插值节点。

针对$f(x)=e^{{-x}$，它的任意阶导数都很好算——m阶导数就是$(-1)}m e^{{-x}$，所以21阶导数（对应20次插值）就是$f}{(21)}(\xi) = -e^{-\xi}$。把这个代入误差公式，误差的绝对值就变成：
$$|R_{20}(x)| = \frac{e^{-\xi}}{21!} \left| \prod_{k=0}^{20} (x - x_k) \right|$$
$\xi$的范围和插值区间一致，后面第二个问题里我们限定在$[0,2]$区间，所以$\xi \in (0,2)$。

问题2：[0,2]区间21个均匀节点的插值精度对比 #

现在我们在$[0,2]$上取21个均匀节点，也就是节点间隔是$\frac{2-0}{20} = 0.1$，节点为$x_k = 0 + 0.1k$（k从0到20）。接下来用两个定理分别计算误差上限：

用定理2计算（更省心的方法） #

定理2的优势就是计算简单，因为它直接利用了$e^{{-x}$导数的特性：$e}{-x}$的21阶导数绝对值是$e^{-\xi}$，在$[0,2]$区间上，这个值最大就是1（因为$\xi \geq 0$，$e^{-\xi}$随$\xi$增大而减小，最大值在$\xi=0$处）。

代入定理2的估计公式后，得到的误差上限是：
$$1.1905 × 10^{−23}$$

用定理1计算 #

定理1是更通用的均匀节点插值误差估计，需要考虑节点乘积项$\prod_{k=0}^{20}(x-x_k)$在区间内的最大值，再结合导数的上限来计算。经过计算，最终得到的误差上限是：
$$4.105 × 10^{−14}$$

结果对比 #

能明显看到两个结果的差距：定理2给出的误差上限小很多，这是因为它精准利用了$e^{-x}$导数的特性；而定理1的结果更保守，但适用于更多类型的函数，不用依赖导数的特殊性质。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者james black