如何对矩阵方程$(A-\lambda I)X=0$取行列式？如何证明非平凡X时$\det(A-\lambda I)=0$？

嘿，我来帮你理清楚这个问题——首先得澄清一个误区：你提到的“对矩阵方程$(A-\lambda I)X=0$两边取行列式”其实走不通，因为左边是方阵乘列向量，结果是一个$n$维列向量，而行列式只能作用在方阵上，向量根本没有行列式的定义，所以得换个思路推导结论。

下面我把整个逻辑链一步步拆解清楚，你就能明白为什么存在非平凡解$X$时，$\det(A-\lambda I)=0$：

• 先回忆线性代数里的两个核心结论：
  1. 对于$n\times n$方阵$M$，线性方程组$MX=0$存在非平凡解（也就是$X\neq 0$的解）的充要条件是，$M$是奇异矩阵（不可逆矩阵）。
  2. 方阵不可逆的充要条件，就是它的行列式等于0。
• 我们用反证法来推导：假设$(A-\lambda I)$是可逆的，那它就有对应的逆矩阵$(A-\lambda I)^{-1}$。给方程$(A-\lambda I)X=0$两边左乘这个逆矩阵：

  (A-\lambda I)^{-1}(A-\lambda I)X = (A-\lambda I)^{-1} \cdot 0
  

  左边化简后是单位矩阵$I$乘$X$，也就是$X$；右边是逆矩阵乘零向量，结果还是零向量。这样就得到了$X=0$，但这和我们“存在非平凡解$X\neq 0$”的前提矛盾了。
• 所以，既然存在非平凡解，那$(A-\lambda I)$一定是不可逆的。结合上面的第二个结论，自然就得出$\det(A-\lambda I)=0$。

总结一下，整个推导的核心是线性方程组解的存在性和方阵可逆性的关联，而不是直接对原方程取行列式——毕竟原方程的结果是向量，没法做行列式运算。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Solidification