设a,b∈G，求证abⁿa⁻¹=(aba⁻¹)ⁿ——求助证明方法

嘿，这个群论里的共轭幂等式证明其实很直接，用数学归纳法就能搞定，你之前尝试的那个变形有点绕远路啦，没必要引入(a⁻¹a)ⁿ这类项，反而会把问题复杂化。咱们用最常规的方法来推导：

我们先针对正整数$n$用数学归纳法证明，之后再补充非正整数的情况：

1. 基例：当$n=1$时 #

左边：$ab^1a{-1} = aba^{-1}$
右边：$(aba^{-1})1 = aba^{-1}$
显然左右两边完全相等，基例成立。

2. 归纳假设：假设当$n=k$（$k$为正整数）时等式成立 #

也就是我们假设：
abᵏa⁻¹ = (aba⁻¹)ᵏ

3. 归纳步骤：证明$n=k+1$时等式成立 #

先看左边的表达式：
$ab^{k+1}a{-1} = ab^k \cdot b \cdot a^{-1}$
根据群的结合律，我们可以把式子拆成两组：
$= (ab^k a^{-1}) \cdot (aba^{-1})$
现在把归纳假设的结论代入进去：
$= (aba^{-1})k \cdot (aba^{-1})$
根据群中幂运算的定义，这直接等于：
$= (aba^{-1}){k+1}$
和右边的表达式完全一致，所以$n=k+1$时等式也成立。

补充：覆盖非正整数的情况 #

• 当$n=0$时：群中任何元素的0次幂都是单位元$e$，左边$ab^0a{-1} = a \cdot e \cdot a^{-1} = aa^{-1} = e$；右边$(aba^{-1})0 = e$，等式成立。
• 当$n=-m$（$m$为正整数）时：$b^n = (b^m){-1}$，左边$ab^{-m}a{-1} = a(b^m){-1}a^{-1}$。根据群中逆元的性质：a(x⁻¹)a⁻¹ = (axa⁻¹)⁻¹，所以左边可以转化为$(ab^m a^{-1}){-1}$，再代入归纳假设的结论，就得到$((aba^{-1})m)^{-1} = (aba^{-1}){-m} = (aba^{-1})n$，等式同样成立。

这样就完整证明了对于所有整数$n$，等式$ab^n a^{-1} = (aba^{-1})n$都成立啦。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user482939