奇素数q作为模p原根的素数p存在性及Artin猜想技术问询

问题1：给定奇素数q，是否存在素数p，使得q为模p的原根？ #

答案是肯定存在，而且我们甚至可以直接构造出这样的素数p。举几个直观例子：

• 取q=3，素数p=7：计算可得3的各次幂模7依次是3,2,6,4,5,1，阶为6（正好等于7-1），所以3是模7的原根。
• 取q=5，素数p=3：5 mod3=2，2的阶是2（等于3-1），所以2（也就是5）是模3的原根。

从理论角度来说，对于任意奇素数q，我们可以选取p为q+1的一个素因子（当q+1本身是素数时，直接取p=q+1即可），或者选取满足p ≡1 mod (q-1)且q不是模p的二次剩余的素数（根据二次互反律，这样的p一定存在），都能保证q是模p的原根。

问题2：关于Artin猜想中“存在至少一个素数p”的结论 #

Artin猜想的核心是“对任意非平方正整数n，存在无穷多个素数p，使得n是模p的原根”，而关于存在至少一个这样的p的结论，已经被完全证明了：

对于任意非平方正整数n，至少存在一个素数p，使得n是模p的原根。

举几个验证例子：

• n=2（非平方），p=3：2的阶是2=3-1，是原根；
• n=6（非平方），p=7：6 mod7=6，阶是6=7-1，是原根；
• n=12（非平方），p=5：12 mod5=2，2的阶是4=5-1，是原根。

需要注意的是，这里的n必须是非平方数——如果n是平方数，那么对于任意奇素数p，n模p的阶一定整除(p-1)/2，不可能等于p-1，所以绝不可能成为模p的原根。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者mithun