二染色无限平面中单色简单闭曲线存在性及n染色推广问题

嘿，这个拓扑染色问题挺有意思的，我来一步步给你拆解清楚：

• 对于2染色的无限平面，一定存在所有点颜色相同的简单闭曲线（也就是Jordan曲线，不自交的连续闭曲线）。
• 对于n≥3的n染色平面，存在特定的染色方式使得没有单色简单闭曲线，所以2染色的结论没法直接推广到n染色。

一、2染色平面：为什么一定存在单色简单闭曲线？ #

假设平面上的点只有红、蓝两种颜色，分两种情况讨论：

1. 某一种颜色的点不共线
   如果红色点里能找到三个不在同一直线上的点A、B、C，那这三个点构成的三角形就是一条完美的红色简单闭曲线——三角形是不自交的闭曲线，完全符合要求。同理，如果蓝色点不共线，也能找到这样的蓝色三角形。

2. 所有同色点都共线
   要是所有红色点都挤在某条直线l上，那蓝色点就是整个平面去掉这条直线的部分。这时候随便在蓝色区域里找三个不共线的点（比如l上方取两个点，下方取一个点），它们构成的三角形就是蓝色的简单闭曲线。反过来，如果所有蓝色点都共线，红色点集也能构造出单色闭曲线。

不管哪种情况，2染色平面里肯定有单色简单闭曲线。

二、n≥3时：怎么构造没有单色闭曲线的染色？ #

我们可以设计一种n染色方式，让每个颜色的点集都“散得足够开”，连连通的闭曲线都没法形成。核心思路是让每个颜色的点集都是完全不连通集——意思是这个集合里的每个连通分支只有一个点，没有任何连通的子集合包含两个以上的点。

为什么这样就行？因为简单闭曲线是连通的，它包含无穷多个点，而完全不连通集里连两个点都没法形成连通的子集，所以闭曲线根本不可能完全落在某个颜色里。

具体怎么构造呢？举个例子：
把平面上每个点的坐标(x,y)写成二进制小数（如果有两种表示，比如0.1和0.0111...，统一用有限位的那种）。然后找x和y的二进制展开里第一个不一样的位，假设这个位是第k位，那这个点的颜色就定为 k mod n + 1。

这样一来，任意两个不同的点，总能找到第一个不同的二进制位，要么属于不同颜色，要么就算同色，也能被一个开集分开（比如取一个足够小的圆盘，只包含其中一个点）。每个颜色的点集都是完全不连通的，自然就不可能有单色的简单闭曲线了。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者NothingInSense