素理想与极大理想的对应定理推广及对应性证明问询

我现在有一个定理的基础版本，想把它推广到素理想和极大理想的层面——具体来说，要证明在定理给出的双射对应关系下，素理想和素理想对应、极大理想和极大理想对应。虽然这事看起来好像挺显然的，但我反而有点拿不准，怕哪里漏了细节。我的证明思路大概是这样的：

• 假设$I \subset R$是素理想（或极大理想），根据环论基本结论，$R/I$是整环（或域）。令$\mathcal{I} = \varphi(I)$（$\varphi$是定理中建立双射的环映射）。
• 利用同构性质可得$R/I \simeq \mathcal{R}/\mathcal{I}$，而整环、域在环同构下是不变的，因此$\mathcal{R}/\mathcal{I}$也必然是整环（或域）。
• 再反向套用基本结论：若商环是整环，则对应的理想是素理想；若商环是域，则对应的理想是极大理想。由此可推出$\mathcal{I}$是$\mathcal{R}$中的素理想（或极大理想）。

反过来的推导逻辑也一致：

• 若$\mathcal{I} \subset \mathcal{R}$是素（或极大）理想，则$\mathcal{R}/\mathcal{I}$是整环（或域）。
• 通过同构的逆映射$\varphi^{{-1}$，可得$R/\varphi}{-1}(\mathcal{I}) \simeq \mathcal{R}/\mathcal{I}$，因此$R/\varphi^{{-1}(\mathcal{I})$也是整环（或域），进而推出$\varphi}{-1}(\mathcal{I})$是$R$中的素（或极大）理想。

不过我纠结的点在于：这个思路是不是太“顺畅”了？有没有哪里需要额外验证的细节？比如，$\varphi(I)$是否确实是$\mathcal{R}$中的理想？如果原定理给出的双射本身就是环的理想之间的双射，那这一步是不是就无需额外证明？还是说需要先确认这个映射对理想的良定义性？

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user557