群论答疑：为何(ab)⁻¹=b⁻¹a⁻¹而非a⁻¹b⁻¹？

刚接触抽象代数的群论部分时，我碰到了这么一条核心引理：

引理：设$G$是群，$a,b\in G$，则$(ab)^{-1}=b{-1}a^{-1}$。

引理的证明过程 #

群中逆元的定义是：对于元素$x\in G$，若存在$y\in G$使得$xy=yx=e$（$e$为群$G$的单位元），则$y$是$x$的逆元，且逆元唯一。所以我们只需要验证$b^{-1}a{-1}$和$ab$左右相乘都等于$e$即可：
$$(b^{-1}a{-1})ab = b^{-1}(a{-1}a)b = b^{-1}eb = b^{-1}b = e$$
$$ab(b^{-1}a{-1}) = a(bb^{-1})a{-1} = aea^{-1} = aa^{-1} = e$$
根据逆元的唯一性，就能直接得出$(ab)^{-1}=b{-1}a^{-1}$的结论。

为什么反向等式$(ab)^{-1}=a{-1}b^{-1}$不成立？ #

教授特意强调了这条反向等式一般不成立，我一开始尝试推导时，虽然能感觉到哪里有问题，但总没彻底搞懂根源。试着展开左边的乘积看看：
$$(a^{-1}b{-1})ab = a^{-1}(b{-1}a)b$$
到这里就没法继续化简成$e$了——问题出在群不一定满足交换律！

只有当群$G$是交换群（也就是对任意$a,b\in G$，都有$ab=ba$）时，$b^{-1}a = ab^{-1}$，这时候才能继续推导：
$$a^{-1}(b{-1}a)b = a^{-1}(ab{-1})b = (a^{-1}a)(b{-1}b) = e\cdot e = e$$
但对于绝大多数非交换群（比如对称群$S_3$、矩阵群$GL_n(\mathbb{R})$等），交换律不成立，$b^{-1}a$和$ab{-1}$是完全不同的元素，自然没法让$(a^{-1}b{-1})ab$等于$e$，反向等式也就不成立了。

举个具体的例子直观感受下：取对称群$S_3$中的元素$a=(1\ 2\ 3)$，$b=(1\ 2)$。计算得$ab=(1\ 3)$，它的逆元$(ab)^{{-1}=(1 3)$；而$a}{-1}=(1\ 3\ 2)$，$b^{{-1}=(1 2)$，$a}{-1}b^{{-1}=(1 3 2)(1 2)=(2 3)$，显然$(ab)}{-1}\neq a^{-1}b{-1}$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Samer Baslan