如何证明∫₀^π|sin(nx)/x|dx≥(2/π)∑₁ⁿ1/k？求提示

架构老林

2026-5-19

嘿，这个积分不等式的证明其实可以试试区间拆分+变量替换的思路，比你试过的无穷级数或归纳法更直接，我给你一步步拆解下：

核心证明思路

第一步：拆分积分区间
把原积分的区间[0, π]拆成n个等长的子区间：[(k-1)π/n, kπ/n]（k从1到n）。这样原积分就能拆成n个小积分的和：
$$\int_0^\pi \left|\frac{\sin(nx)}{x}\right|dx = \sum_{k=1}^n \int_{(k-1)\pi/n}^{k\pi/n} \left|\frac{\sin(nx)}{x}\right|dx$$
第二步：变量替换简化被积函数
对每个子区间的积分做变量替换：令t = nx，那么x = t/n，dx = dt/n。当x在[(k-1)π/n, kπ/n]时，t的范围刚好是[(k-1)π, kπ]。代入后每个子积分会简化成：
$$\int_{(k-1)\pi}^{k\pi} \left|\frac{\sin t}{t/n}\right| \cdot \frac{dt}{n} = \int_{(k-1)\pi}^{k\pi} \frac{|\sin t|}{t} dt$$
原积分也就转化为这n个简化后积分的和。
第三步：对每个子积分放缩
在区间[(k-1)π, kπ]里，t的最大值是kπ，所以1/t ≥ 1/(kπ)（毕竟t越大，倒数越小，取右端点的倒数作为下界完全成立）。结合|\sin t| ≥ 0，就能得到放缩式：
$$\frac{|\sin t|}{t} ≥ \frac{|\sin t|}{kπ}$$
两边在[(k-1)π, kπ]上积分，右边的积分很好算：|\sin t|在每个长度为π的区间上的积分都是2（比如∫₀^π sin t dt = 2，绝对值后每个周期积分都保持2），所以右边结果是2/(kπ)。
第四步：求和得到结论
把n个子积分的放缩结果加起来，就有：
$$\int_0^\pi \left|\frac{\sin(nx)}{x}\right|dx ≥ \sum_{k=1}^n \frac{2}{kπ} = \frac{2}{π} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$$
这样就完成了证明。