群G在Ω及Ω×Ω上作用的轨道相关技术问询

问题1：传递作用下是否所有$x,y \in \Omega$都满足$x \sim y$？ #

答案是肯定的！咱们结合定义拆解一下就很清楚了：

• 轨道对应的等价关系$\sim$的核心是：$x \sim y$当且仅当存在$g \in G$，使得$x^g = y$（这里的上标表示群作用，即$g$将$x$映射到$y$）。
• 而$G$在$\Omega$上传递的定义，恰好是：对任意$x,y \in \Omega$，都存在这样的$g \in G$满足$x^g = y$。

这两个定义完全匹配！所以当$G$传递时，整个集合$\Omega$就是一个单一的轨道，所有元素在等价关系$\sim$下都互相等价，也就是对所有$x,y \in \Omega$，$x \sim y$成立。

举个直观的例子：对称群$S_3$作用在集合${1,2,3}$上，这个作用是传递的——随便选两个元素比如1和3，总能找到置换$(1\ 3)$把1映射到3；选1和2，置换$(1\ 2)$就能完成映射。所以所有元素都在同一个轨道里，互相等价。

关于$G$在$\Omega \times \Omega$上的自然作用补充 #

你提到了$G$在$\Omega \times \Omega$上的自然作用，这里先补充一些基础内容：
这个作用的标准定义是：对任意$(x,y) \in \Omega \times \Omega$和$g \in G$，作用为 $(x,y)^g = (x^g, y^g)$。几个常见的性质包括：

• 当$G$在$\Omega$上传递时，$\Omega \times \Omega$的轨道至少有两个：一个是对角线轨道${(x,x) \mid x \in \Omega}$（所有元素映射到自身的有序对），另一个是所有$x \neq y$的有序对构成的轨道——不过这只在$G$是2-传递群时成立，否则$\Omega \times \Omega$可能会有更多轨道。
• 比如$S_n$作用在${1,2,...,n}$上就是2-传递的，所以$\Omega \times \Omega$只有对角线和非对角线两个轨道；但如果是循环群$C_3$作用在${1,2,3}$上（传递但不是2-传递），$\Omega \times \Omega$的轨道会更多，比如${(1,2),(2,3),(3,1)}$和${(1,3),(2,1),(3,2)}$就是两个不同的非对角线轨道。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者sugoi_overload