严格拟凸性是否等价于在每个凸集中具有唯一最小值？

咱们一步步来推导这个结论，反证法在这里特别好用：

首先明确严格拟凸函数的定义：

将定义在实向量空间凸子集$S$上的函数$f:S \to \mathbb{R}$称为严格拟凸函数，当且仅当对任意$x, y \in S$和$\lambda \in (0,1)$，满足：
$$ f(\lambda x + (1 - \lambda)y) < \max\big{f(x),f(y)\big} $$

我们要证明的核心结论是：严格拟凸函数在每个凸子集$T\subseteq S$中具有唯一最小值。

反证法推导过程 #

• 假设$f$在$T$中有两个不同的最小值点$x$和$y$，即$f(x)=f(y)=m$，其中$m$是$f$在$T$上的最小值。
• 因为$T$是凸集，取$\lambda=1/2$构造点$z = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}y$，根据凸集的性质，$z$必然属于$T$。
• 代入严格拟凸函数的定义，可得：
  $$ f(z) < \max\big{f(x),f(y)\big} = \max{m,m} = m $$
• 这就产生了矛盾：$m$是$f$在$T$上的最小值，而$z\in T$，所以$f(z)$不可能小于$m$。

由此可见，最初假设存在两个不同最小值点的情况不成立，因此严格拟凸函数在凸子集$T$中的最小值点必然是唯一的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Erel Segal-Halevi