关于Aut(Q₈)自同构的疑问：φ(i)为何不能取1或-1

要搞懂这个问题，我们只需要紧扣自同构的核心性质，再结合四元数群Q₈中元素的阶来拆解：

• 自同构的本质要求：自同构是双射的群同态，这意味着它必须同时满足两个关键条件：

  1. 同态性：保持群运算，即对所有a,b∈Q₈，φ(ab)=φ(a)φ(b)成立；
  2. 双射性：既是单射（不同元素必须映射到不同元素）又是满射（每个群元素都能被映射到）。

• 先明确Q₈中各元素的阶：

  • 单位元1的阶是1（只有它满足g¹=1）；
  • -1的阶是2：因为(-1)²=1，且没有更小的正整数n能让(-1)ⁿ=1；
  • i的阶是4：i⁴=1，但i¹=i≠1，i²=-1≠1，i³=-i≠1，所以最小的正整数n是4。

• 从同态性看阶的保持：
  群同态有个重要推论：它会严格保持元素的阶——也就是说，对任意g∈Q₈，φ(g)的阶必须和g的阶完全一致。
  既然i的阶是4，那φ(i)的阶也必须是4。但1的阶是1，-1的阶是2，都不等于4，所以φ(i)绝对不可能是这两个元素。

• 从双射性再验证矛盾：
  我们可以反过来推导矛盾：

  • 如果φ(i)=1：同态要求φ(1)=1（单位元必须映射到单位元），这样φ(i)=φ(1)=1，违反了单射要求（不同元素不能映射到同一个元素），不可能成立；
  • 如果φ(i)=-1：根据同态性，φ(i²)=φ(-1)，而i²=-1，所以φ(-1)=φ(i)²=(-1)²=1。但φ(1)也等于1，这又导致φ(-1)=φ(1)=1，再次违反单射要求，矛盾。

综上，不管φ是Aut(Q₈)中哪个自同构，φ(i)都只能是Q₈里阶为4的元素，也就是{i, -i, j, -j, k, -k}这六个，绝对不可能是1或-1。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者DrunenAlg