求直线p上到平面π₁:x+y-z=1与π₂:x-y+z=5等距的所有点

没问题，我来一步步帮你搞定这个问题。你的初始思路完全正确——先通过直线的参数方程表示出任意点，再结合点到平面的距离公式建立等式求解即可。

步骤1：写出直线上任意点的坐标 #

直线p的参数方程是 (1,0,0)+λ(1,1,1)，所以对任意参数λ，直线上的点P的坐标可以表示为：
P(1+λ, λ, λ)

步骤2：回顾点到平面的距离公式 #

对于平面的一般式 Ax + By + Cz + D = 0，点 (x₀,y₀,z₀) 到该平面的距离公式为：
d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A²+B²+C²)

先把题目里的两个平面转换成标准一般式：

• π₁: x + y - z - 1 = 0（对应参数A=1, B=1, C=-1, D=-1）
• π₂: x - y + z - 5 = 0（对应参数A=1, B=-1, C=1, D=-5）

步骤3：计算点P到两个平面的距离 #

计算点P到π₁的距离d₁：

d₁ = |(1+λ) + λ - λ - 1| / √(1²+1²+(-1)²)
    = |λ| / √3

计算点P到π₂的距离d₂：

d₂ = |(1+λ) - λ + λ - 5| / √(1²+(-1)²+1²)
    = |λ - 4| / √3

步骤4：建立距离相等的等式并求解参数λ #

因为要求d₁ = d₂，所以：
|λ| / √3 = |λ - 4| / √3

两边同时乘以√3，简化得到绝对值方程：
|λ| = |λ - 4|

分情况解这个方程：

• 当λ ≥ 4时，λ = λ - 4 → 0 = -4，显然无解；
• 当0 ≤ λ < 4时，λ = 4 - λ → 2λ = 4 → λ = 2；
• 当λ < 0时，-λ = 4 - λ → 0 = 4，同样无解。

所以唯一有效的参数解是λ=2。

步骤5：代入参数得到目标点 #

把λ=2代入点P的坐标，得到：
P(1+2, 2, 2) = (3, 2, 2)

你可以验证一下：这个点到π₁的距离是|3+2-2-1|/√3=2/√3，到π₂的距离是|3-2+2-5|/√3=|-2|/√3=2/√3，确实相等。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者mandella