强化假设为距离函数时，是否满足F(w(x))≤C_wF(x)？

背景 #

这是我之前提问的后续问题。在上一个问题中，@Arnaud D.已经证明了我原本想证的结论在较弱的假设下并不成立，所以我现在对函数$F$的条件做了强化，重新明确了距离函数的定义。

定义：距离函数 #

函数$F\colon \mathbb R^n\to \mathbb R$被称为距离函数，当且仅当满足以下三个条件：

• 非负性与正定性：$F(x)\geqslant 0$，且$F(x)=0 \iff x=0$
• 正齐次性：$F(tx) = |t|F(x)$，对所有$t\in\mathbb{R}$、$x\in\mathbb{R}^n$成立
• 连续性：$F$是$\mathbb{R}^n$上的连续函数

待证结论 #

我希望证明的结论是：设$F\colon \mathbb R^n\to \mathbb R$是一个距离函数，[注：原问题此处内容未完整给出]

内容的提问来源于stack exchange，提问作者E. Joseph