索引集/集合族技术求助：集合分解性质证明问题

咱们一步一步来拆解这三个证明，逻辑都是很清晰的：

1. 证明集合$B_k$两两不交 #

假设存在两个不同的正整数$i$和$j$，不妨设$i < j$，我们要证明$B_i \cap B_j = \emptyset$。

任取元素$x$，如果$x \in B_i$，根据$B_i$的定义，$x \in A_i$且$x \notin \bigcup_{t < i} A_t$。

如果同时$x \in B_j$，那根据$B_j$的定义，$x \notin \bigcup_{t < j} A_t$。但因为$i < j$，所以$A_i$是$\bigcup_{t < j} A_t$的子集，这就意味着$x \notin A_i$——这和前面$x \in A_i$的结论矛盾。

所以不存在这样的$x$，也就是说任意两个不同的$B_k$都没有公共元素，即$B_k$两两不交。

2. 证明对每个正整数$k$，$\bigcup_{t \leq k} A_t = \bigcup_{t \leq k} B_t$ #

我们用双向包含的方法来证明两个集合相等：

• 第一步：证明$\bigcup_{t \leq k} B_t \subseteq \bigcup_{t \leq k} A_t$
  对任意$t \leq k$，根据$B_t$的定义，$B_t = A_t \setminus \bigcup_{s < t} A_s$，显然$B_t$是$A_t$的子集（因为从$A_t$里去掉了一部分元素）。所以每个$B_t$都包含在$A_t$里，它们的并集自然也包含在$\bigcup_{t \leq k} A_t$里。

• 第二步：证明$\bigcup_{t \leq k} A_t \subseteq \bigcup_{t \leq k} B_t$
  任取$x \in \bigcup_{t \leq k} A_t$，这意味着$x$至少属于其中一个$A_t$（$t \leq k$）。我们取最小的那个正整数$m$，使得$x \in A_m$（$m \leq k$）。
  因为$m$是最小的，所以$x$不属于任何$A_s$（$s < m$），也就是说$x \in A_m \setminus \bigcup_{s < m} A_s = B_m$。而$B_m$是$\bigcup_{t \leq k} B_t$的子集，所以$x \in \bigcup_{t \leq k} B_t$。

既然两边互相包含，那这两个集合就相等了。

3. 证明$\bigcup_{t \geq 1} A_t = \bigcup_{t \geq 1} B_t$ #

同样用双向包含的思路：

• 第一步：证明$\bigcup_{t \geq 1} B_t \subseteq \bigcup_{t \geq 1} A_t$
  和第二问的第一步逻辑完全一致，每个$B_t \subseteq A_t$，所以它们的无限并集也包含在$\bigcup_{t \geq 1} A_t$里。

• 第二步：证明$\bigcup_{t \geq 1} A_t \subseteq \bigcup_{t \geq 1} B_t$
  任取$x \in \bigcup_{t \geq 1} A_t$，说明存在某个正整数$m$，使得$x \in A_m$。同样取最小的这样的$m$，那么$x$不属于任何$A_s$（$s < m$），所以$x \in B_m$，而$B_m$是$\bigcup_{t \geq 1} B_t$的子集，因此$x \in \bigcup_{t \geq 1} B_t$。

双向包含成立，所以两个无限并集相等。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Black Zeppelin