关于积分极限求解与W^{1,p}序列积分不等式证明的问询

让我来逐个帮你拆解这两个分析问题：

问题1：如何求得积分的极限？ #

这个问题确实比较宽泛，因为不同类型的积分（黎曼积分、勒贝格积分，或是带参数的积分）求极限的方法差异很大，但我可以给你一些通用的核心思路：

• 交换极限与积分顺序：这是最常用的手段，核心是找到合适的收敛定理作为支撑：
  • 如果是一致收敛的函数序列，先用魏尔斯特拉斯M判别法确认一致收敛性后，就可以直接交换极限与积分的顺序；
  • 在勒贝格积分框架下，勒贝格控制收敛定理（需要找到一个可积的控制函数）、单调收敛定理（函数列单调非负）或是法图引理（用于处理下极限/上极限）都是常规操作。
• 变量替换+已知极限：如果积分中带有参数$n$，可以尝试做变量替换把$n$转移到积分限或是被积函数的简单位置，比如令$t = x/n$，将积分转化为我们熟悉的、有已知结果的积分形式（比如欧拉积分、高斯积分这类）。
• 夹逼定理估计上下界：如果直接计算极限有难度，可以找两个容易计算极限的积分，把目标积分夹在中间，当上下界的极限相等时，就能得到目标积分的极限。
• 特殊技巧辅助：比如利用积分中值定理把积分转化为函数值乘以区间长度，再求解函数值的极限；或是对含参积分使用莱布尼茨公式求导后再处理极限。

问题2：证明积分上极限的不等式 #

这个问题的核心是利用集合包含关系和积分的单调性来推导，步骤非常清晰：

1. 先确认集合包含：已知$|y_n| < M$，那么对于任意$x \in B_r(y_n)$，由三角不等式可得$|x| \leq |x - y_n| + |y_n| < r + M$，这意味着$B_r(y_n) \subset B_{r+M}(0)$对所有$n$都成立。
2. 再用积分的单调性：对于非负可测函数$f$，若集合$A \subset B$，则$\int_A f dx \leq \int_B f dx$。这里$|u_n(x)|^p$是非负的，因此显然有：
   $$\int_{B_r(y_n)}|u_n(x)|^p dx \leq \int_{B_{r+M}(0)} |u_n(x)|^p dx$$
3. 最后对上极限应用保序性：如果序列$a_n \leq b_n$对所有$n$成立，那么$\limsup_{n\to\infty}a_n \leq \limsup_{n\to\infty}b_n$。将这个性质应用到上面的不等式两边，就能直接得到你需要证明的结论：
   $$ \limsup_{n\to+\infty}\int_{B_{r+M}(0)} |u_n(x)|^p dx\geq \limsup_{n\to+\infty}\int_{B_r(y_n)}|u_n(x)|^p dx $$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Vrouvrou