单射解析映射为真映射的证明疑问：边界收敛性验证

设$f:\Omega \to \mathbb{C}$是定义在开集$\Omega \subset \mathbb{C}$上的单射解析映射。若序列$z_n \in \Omega$趋向$\partial \Omega$，证明$f(z_n)$在“最终位于$f(\Omega)$的每个紧子集之外”的意义下趋向$\partial f(\Omega)$，该性质表明$f$是真映射。

你的反证法思路完全走对了！假设${f(z_n)}$含于$f(\Omega)$的某紧子集，确实会导出矛盾，咱们把细节理清楚：

• 首先，因为${f(z_n)}$含于$\mathbb{C}$中的紧子集，根据Bolzano-Weierstrass定理，它必有收敛子列，不妨设$f(z_{n_k}) \to w \in \mathbb{C}$。
• 由于$f(\Omega)$的紧子集$K$是$\mathbb{C}$中的闭有界集，所以$w \in K \subset f(\Omega)$，这意味着存在$a \in \Omega$使得$w = f(a)$（因为$f$是满射到$f(\Omega)$的）。
• 接下来利用单射解析映射的关键性质：单射解析映射是局部同胚。原因是单射解析映射的导数处处非零（否则会有重根，与单射矛盾），结合开映射定理，$f$在每一点的邻域上是开映射，再加上单射性，就保证了$f$在$a$的某个邻域$U \subset \Omega$上是到$w$的邻域$V = f(U)$的同胚。
• 现在矛盾点来了：因为$f(z_{n_k}) \to w$，所以当$k$足够大时，$f(z_{n_k}) \in V$，对应$z_{n_k} \in U$。但$z_n \to \partial \Omega$意味着$z_n$最终会跑出$\Omega$的任何紧子集（包括$U$的闭包，而$U$是$\Omega$内的邻域，其闭包完全包含在$\Omega$中），不可能有无穷多个$z_{n_k}$落在$U$里。

这个矛盾直接推翻了反证法的假设，从而证明了原命题：当$z_n \to \partial \Omega$时，$f(z_n)$必然最终位于$f(\Omega)$的每个紧子集之外，也就是在拓扑意义下趋向$\partial f(\Omega)$，这正好符合真映射的定义。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者meiji163