求满足条件的二次及以下多项式的唯一例外点x₀及对应多项式

咱们一步步来拆解这个问题：

• 第一步：简化多项式形式
  因为这是个次数不超过2的多项式，且满足p(0)=0，所以常数项直接为0，咱们可以设多项式为：
  f(x) = px² + qx

• 第二步：利用p(1)=1确定系数关系
  把x=1代入多项式，得到p*1² + q*1 = 1，也就是：
  p + q = 1
  变形后得到q = 1 - p，现在多项式可以写成：
  f(x) = px² + (1 - p)x

• 第三步：利用导数条件找特殊点x₀
  先求多项式的导数：
  f’(x) = 2px + (1 - p)
  题目要求f’(b)=2，把x=b代入导数表达式：
  2pb + (1 - p) = 2
  整理这个等式：

  2pb - p = 2 - 1
  p(2b - 1) = 1
  

  这里就能看出关键了：当2b - 1 = 0，也就是b = 1/2时，等式左边是0，右边是1，显然无解。这就是题目里说的那个特殊点x₀ = 1/2。

• 第四步：求b≠x₀时的多项式
  当b ≠ 1/2时，2b - 1 ≠ 0，我们可以解出p的值：
  p = 1/(2b - 1)
  再代入q = 1 - p计算q：

  q = 1 - 1/(2b - 1) = (2b - 1 - 1)/(2b - 1) = 2(b - 1)/(2b - 1)
  

  把p和q代回多项式，就能得到：
  f(x) = [1/(2b - 1)]x² + [2(b - 1)/(2b - 1)]x
  也可以整理成更简洁的形式：
  f(x) = [x² + 2(b - 1)x]/(2b - 1)

内容的提问来源于stack exchange，提问作者james black