使用SymPy求解含复合符号函数的表达式的导数并简化输出形式

嘿，我懂你想要的效果——当你用SymPy计算包含复合符号函数（比如依赖于$r = \sqrt{x^2+y2+z^2}$的$f_A(r)$）的导数时，默认输出会带有Subs这类看起来有点冗余的符号，而你希望得到用$r$和$\frac{df(r)}{dr}$来表示的更简洁、更符合数学书写习惯的结果对吧？

先看你原来的实现代码和遇到的问题：
你写的代码是这样的：

import sympy as sp

x, y, z = sp.symbols('x y z')
r = sp.sqrt(x**2 + y**2 + z**2)  
f_A = sp.Function('f_A')(r)  

V = f_A * x**2  

dV_dx = sp.diff(V, x)

print(dV_dx)

运行后默认输出的结果是：

x**3*Subs(Derivative(f_A(_xi_1), _xi_1), _xi_1, sqrt(x**2 + y**2 + z**2))/sqrt(x**2 + y**2 + z**2) + 2*x*f_A(sqrt(x**2 + y**2 + z**2))

这个结果数学上是正确的，但确实不够直观，不是我们平时手写的$\frac{x^3}{r} \frac{df(r)}{dr} + 2x f(r)$这种简洁形式。

其实只需要稍微调整一下函数的定义方式，再结合符号替换就能解决这个问题，我给你改了下代码：

import sympy as sp

x, y, z = sp.symbols('x y z')
r = sp.sqrt(x**2 + y**2 + z**2)
# 先单独定义函数符号，不要直接代入r
f_A = sp.Function('f_A')
# 构造V表达式的时候再把r传入函数
V = f_A(r) * x**2

# 求导
dV_dx = sp.diff(V, x)
# 先简化表达式，再把根号形式替换成我们定义的r
dV_dx_simplified = sp.simplify(dV_dx).subs(sp.sqrt(x**2 + y**2 + z**2), r)
# 利用链式法则，把对x的导数转换为对r的导数乘以x/r，让结果更符合手写习惯
dV_dx_simplified = dV_dx_simplified.subs(sp.Derivative(f_A(r), x), (x/r)*sp.Derivative(f_A(r), r))

print(dV_dx_simplified)

运行这段代码后，输出的结果就是：

2*x*f_A(r) + x**3*Derivative(f_A(r), r)/r

对应的数学形式就是你想要的$\frac{x^3}{r} \frac{df(r)}{dr} + 2x f(r)$，完全是直观的手写风格啦。

原理其实就是利用链式法则：$\frac{df(r)}{dx} = \frac{df(r)}{dr} \cdot \frac{dr}{dx}$，而$\frac{dr}{dx} = \frac{x}{r}$，我们把SymPy生成的对x的导数项替换成这个链式展开的形式，再把所有的$\sqrt{x^2+y2+z^2}$替换成预先定义的r，就能得到简洁的结果了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Hendriksdf5