已知可逆n×n矩阵A、B、C满足AB^TC=Iₙ，求A⁻¹并验证答案

嘿，我来帮你梳理这个矩阵逆的问题，顺便验证你的答案～

首先先明确逆矩阵的核心定义：如果两个n阶方阵X和Y满足 XY = Iₙ，那么X的逆矩阵就是Y，同时Y的逆矩阵就是X——这是我们解决问题的关键依据。

推导正确的A⁻¹ #

已知条件是：AB^T C = Iₙ，我们的目标是找到A的逆矩阵。

把这个等式拆开来，其实就是 A * (B^T C) = Iₙ，完全贴合逆矩阵的定义！直接就能得出：
A⁻¹ = B^T C

如果觉得不够直观，我们也可以一步步推导：

• 对等式 AB^T C = Iₙ 两边左乘A⁻¹，得到：A⁻¹AB^T C = A⁻¹Iₙ
• 因为 A⁻¹A = Iₙ，且单位矩阵乘任何矩阵都等于原矩阵，所以左边简化为 B^T C，右边就是 A⁻¹
• 最终得到 A⁻¹ = B^T C

验证你的答案是否正确 #

你给出的答案是 A⁻¹ = A⁻¹B⁻ᵀC⁻¹，我们可以用逆矩阵的定义来验证：
如果这个答案正确，那么 A * (A⁻¹B⁻ᵀC⁻¹) 应该等于 Iₙ，但计算一下：
A * (A⁻¹B⁻ᵀC⁻¹) = (AA⁻¹)B⁻ᵀC⁻¹ = IₙB⁻ᵀC⁻¹ = B⁻ᵀC⁻¹
只有当 B⁻ᵀC⁻¹ = Iₙ（也就是 B^T = C）时，这个结果才等于单位矩阵，但题目里并没有给出这个额外条件，所以你的答案是不正确的。

再确认正确答案的合理性 #

我们用正确的结果 A⁻¹ = B^T C 验证：
A * (B^T C) = AB^T C，而题目已经明确给出这个式子等于 Iₙ，完全符合逆矩阵的定义，所以这个结果是100%正确的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者yaenk