n位2补码二进制数乘法：需2n位结果的特殊情况问询

这个问题其实挺有意思的，咱们先从n位2补码的范围说起：n位2补码能表示的数是从 -2^(n-1) 到 2^(n-1)-1。

那什么时候两个n位2补码相乘的结果必须用2n位才能装下呢？答案就是：当两个乘数都是n位2补码中的最小负数，也就是 -2^(n-1) 的时候。

咱们举个具体例子，比如n=2：

• 2位2补码的最小负数是 -2（二进制是 10）
• 它乘以自己：(-2) * (-2) = 4
• 2n=4位的2补码可以表示4（二进制 0100），但如果用少于4位的话，比如3位2补码，最大只能表示到3（011），根本装不下4。

为什么这是唯一的情况？咱们来捋一捋：

• 其他所有n位2补码组合的乘积，绝对值最大的情况是 (2^(n-1)-1) * (2^(n-1)-1) = 2^(2n-2) - 2^n + 1，这个值比 (-2^(n-1))^2 = 2^(2n-2) 要小。
• 而如果用少于2n位的存储（比如2n-1位），它的最大正数是 2^(2n-2)-1，刚好比 2^(2n-2) 小1，所以只有这一种情况的乘积会超出短位数的存储范围，必须用2n位才能装下。

说白了，就是两个n位2补码里最“极端”的那个负数相乘，得到的结果刚好卡在了短位数存储的上限之外，其他任何组合的乘积都能在更少的位数里容纳。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Navid