模的平凡局部化等价条件问询：非有限生成模情形探讨

咱们先从已经明确的基础结论入手：
设$R$为交换环，$S\subset R$是乘法封闭子集，$M$是任意$R$-模（不一定有限生成）。经过推导，我们已经有这个等价关系：

$S^{-1}M=0 \Leftrightarrow \forall m\in M,\ \mathrm{Ann}_R(m)\cap S\neq \emptyset$

现在你想问的是：有没有可能把这个条件强化成下面这样的等价关系？

$S^{-1}M=0\Leftrightarrow \mathrm{Ann}_R(M)\cap S\neq\emptyset$

答案是：只有当$M$是有限生成模时，这个等价关系才成立；对于非有限生成的模，它不成立。

反例说明 #

我们可以构造一个简单的反例来验证：
取$R = \mathbb{Z}$（整数环），乘法封闭子集$S = \mathbb{Z}\setminus{0}$（所有非零整数）。然后让$M$是所有素数阶循环群的直和，也就是$M = \bigoplus_{p\text{ 素数}} \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$。

现在分两步看：

1. 首先验证$S^{-1}M=0$：对于$M$里的任意元素$m$，它只有有限个分量是非零的，假设这些分量对应的素数是$p_1,p_2,\dots,p_k$。取$s = p_1p_2\dots p_k$，显然$s\in S$，而且$s\cdot m = 0$，也就是说$\mathrm{Ann}_R(m)\cap S\neq\emptyset$。根据已知的等价条件，$S^{-1}M=0$。
2. 再看$\mathrm{Ann}_R(M)$：它是所有满足$r\cdot M = 0$的整数$r$。如果存在非零整数$r$满足这个条件，那$r$必须被所有素数整除，但整数的素因子只有有限个，这显然做不到，所以$\mathrm{Ann}_R(M) = {0}$，自然$\mathrm{Ann}_R(M)\cap S = \emptyset$。

这就直接说明，当$M$是非有限生成模时，$S^{-1}M=0$但$\mathrm{Ann}_R(M)\cap S=\emptyset$，所以你问的那个等价关系不成立。

最后再总结一下：

• 若$M$是有限生成$R$-模，$S^{-1}M=0\Leftrightarrow \mathrm{Ann}_R(M)\cap S\neq\emptyset$成立；
• 若$M$不是有限生成$R$-模，只能用最初的那个等价条件：$S^{-1}M=0$当且仅当每个$m\in M$的零化子都和$S$相交。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Z Wu