关于$\mathbb{R}^2$上函数$f(x,y)=4x^3+y^3-6xy$全局最小值的问询

你的理解完全正确，咱们一步步拆解来看：

关于定义域的确认 #

$\mathbb{R}^2$的定义就是所有二维实数对$(x,y)$，也就是x和y的取值范围都是$(-\infty,+\infty)$，你的这个解读完全准确。

关于全局最小值的判断 #

你的推测没错，这个函数确实不存在有限的全局最小值，其全局最小值为$-\infty$。我们可以通过几个简单的场景验证：

• 固定$y=0$，此时函数简化为f(x,0)=4x³，当$x \to -\infty$时，三次项$4x³$会无限趋向$-\infty$，函数值也跟着一路走低；
• 再取$y=x$代入函数，得到f(x,x)=5x³-6x²，当$x \to -\infty$时，三次项$5x³$是主导项——它的衰减速度远快于二次项的影响，所以整个函数值依然会无限趋向$-\infty$。

这说明在$\mathbb{R}^2$这个定义域里，函数可以取到任意小的值，没有下界，因此全局最小值就是$-\infty$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者James Izzard