正交和与非闭子空间：希尔伯特空间及内积空间正交分解问询

先给大家明确希尔伯特空间里的经典结论：

若$L$是希尔伯特空间$H$的闭子空间，则$H = L \oplus L^\perp$

这是个非常基础且重要的定理，没啥争议。

那接下来问题来了：如果$L$是非闭子空间，希尔伯特空间还能做这样的正交分解吗？答案是不能。这里得先提一句，非闭的子空间必然是无限维的——毕竟有限维子空间在希尔伯特空间里天生就是闭的，只有无限维子空间才会出现不闭的情况。

至于具体的实例，说实话我之前也不太擅长构造这类无限维的例子，一度还不确定是不是真的存在这样的情况。后来才想到一个直观的例子：在$L^{2[0,1]$这个希尔伯特空间里，所有多项式构成的子空间$P[0,1]$就是稠密但非闭的。它的正交补$P[0,1]}\perp$是${0}$，那$P[0,1] \oplus P[0,1]^{\perp$其实就是$P[0,1]$本身，显然不等于整个$L}2[0,1]$空间，这就直接说明了非闭子空间没法做正交分解。

再说说一般内积空间的情况，那就更不乐观了。哪怕是闭子空间，不完备的内积空间都不一定能保证有$H = L \oplus L^\perp$这样的分解，更别说非闭子空间了——基本上是不可能有这样的正交分解的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Igor