已知连续函数对称性与∫₋₂⁸f(x)dx=10，求∫₋₂⁸xf(x)dx

嘿，这个问题的关键就是利用题目给的函数对称性条件$f(6-x)=f(x)$，配合换元法就能快速解决，我给你一步步理清楚：

第一步：利用换元法转化目标积分 #

设换元变量$t = 6 - x$，那么：

• 当$x=-2$时，$t=6 - (-2)=8$；当$x=8$时，$t=6-8=-2$
• 对$t=6-x$求导得$dt=-dx$，也就是$dx=-dt$

把目标积分$I = \int_{-2}^8xf(x)dx$用$t$替换：

I = ∫_{-2}^8 x f(x) dx = ∫_{8}^{-2} (6 - t) f(6 - t) (-dt)

第二步：利用函数对称性化简积分 #

题目给出$f(6-t)=f(t)$，同时交换积分上下限会抵消掉负号，所以上式可以化简为：

I = ∫_{-2}^8 (6 - t) f(t) dt

因为积分变量只是符号，我们可以把$t$换回$x$，得到：

I = ∫_{-2}^8 (6 - x) f(x) dx

第三步：拆分积分并求解方程 #

把右边的积分拆成两项：

I = 6∫_{-2}^8 f(x) dx - ∫_{-2}^8 x f(x) dx

注意到右边第二项就是我们要求的$I$，而且题目已经给出$\int_{-2}^8 f(x)dx=10$，代入后得到：

I = 6*10 - I

解这个简单的方程：
$2I=60$，所以$I=30$

总结一下 #

核心就是利用函数的对称性构造出关于$I$的方程，不需要复杂的分部积分，换元法就足够啦～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Leos Kotrop