关于3×3马尔可夫链极限状态向量的计算、类型及与极限矩阵关系的问询

嘿，我来帮你把这些问题掰扯清楚！

极限状态向量$\bf v$是行向量还是列向量？ #

这个得看上下文的定义习惯，两种情况都有，但行向量是更主流的用法：

• 如果我们用行向量表示状态概率分布，那么极限状态向量$\bf v$是行向量，满足$\bf vP = \bf v$（这里$P$是转移矩阵，行代表当前状态，列代表下一个状态）；
• 少数场景会用列向量，这时候满足$P\bf v = \bf v$，转移矩阵的乘法顺序反过来。
  核心是看你用“状态分布×转移矩阵”还是“转移矩阵×状态分布”来表示下一步的分布，对应行/列向量。

极限状态向量的定义 #

极限状态向量（也叫稳态分布向量）是马尔可夫链达到稳态时的状态概率分布，满足两个关键条件：

• 向量里的每个元素都是非负的，且所有元素之和为1（毕竟是概率分布）；
• 经过一次转移后，分布不会再变化——也就是$\bf vP = \bf v$（行向量版），或者$P\bf v = \bf v$（列向量版）。
  只有当马尔可夫链满足不可约、非周期（遍历性）时，才存在唯一的极限状态向量，不管初始状态是什么，经过足够多步转移后，状态分布都会收敛到这个向量。

极限状态向量和极限矩阵是同一概念吗？ #

当然不是，二者是关联但不同的概念：

• 极限矩阵是当转移步数$n$趋向于无穷时，转移矩阵$P^n$的极限，记作$\lim_{n \to \infty} P^n = \Pi$；
• 对于遍历性的马尔可夫链，极限矩阵$\Pi$的每一行都是同一个极限状态向量$\bf v$——也就是说，不管你从哪个初始状态出发，经过无穷多步后，到达各状态的概率都等于$\bf v$里的对应元素。
  简单说，极限矩阵是由重复的极限状态向量构成的矩阵，而极限状态向量是这个矩阵的基本组成单元。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Juan