关于洛必达法则应用的疑惑：分子增长更快时极限为何不是无穷大？

嘿，我来帮你理清这个疑惑！

你这里的核心误区是对“增长更快”的判断——8x+5和6x其实是同阶的线性增长，并不是“分子明显比分母增长更快”哦。当x趋向无穷大时，一次函数的增长速度由x的系数决定，但它们的增长量级是一样的（都是x的一次方），所以两者的比值最终会稳定在系数的比值上。

我们可以从两个角度验证：

• 直接拆分分式：

  (8x+5)/6x = 8x/6x + 5/(6x) = 4/3 + 5/(6x)
  

  当x→∞时，5/(6x)会趋近于0，所以整个式子的极限就是4/3，也就是8/6。
• 用洛必达法则验证：
  这个极限属于∞/∞型（分子分母都趋向无穷大），符合洛必达法则的应用条件。对分子分母分别求导后，分子导数是8，分母导数是6，所以极限就是8/6，和拆分法的结果一致。

如果真的是分子增长比分母快的情况，比如分子是8x²+5，分母是6x，这时候分子是二次函数，比分母的一次函数增长快得多，这时候用洛必达法则求导后得到16x/6，当x→∞时这个式子的极限才是无穷大，这才符合你理解的“增长更快则极限无穷大”的场景。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者K. King