关于$x^2y'=y$的幂级数解法疑问：无法推导至$Y=ce^{-1/x}$

我完全懂你卡在幂级数推导到$ce^{-1/x}$的那种挫败感——其实这个方程用常规的泰勒级数（只含x的非负幂次）是走不通的，因为x=0是方程的正则奇点，得换用洛朗级数（允许负幂次项）来展开，下面我一步步给你理清楚推导过程：

首先，观察微分方程$x^2y'=y$，x=0是方程的奇点（代入x=0会导致左边为0，右边为y(0)，除非y(0)=0，但这样解是平凡解y=0），所以不能用只含非负幂次的泰勒级数，我们假设解为洛朗级数：
$$y(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}a_nxn$$

对y(x)求导：
$$y'(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}n a_nx^{n-1}$$
将y'和y代入原方程$x^2y'=y$：
左边：$x^2 \cdot \sum_{n=-\infty}^{\infty}n a_nx^{n-1} = \sum_{n=-\infty}^{\infty}n a_nx^{n+1}$
我们做变量替换，令$k = n+1$（即$n = k-1$），左边可以改写为：
$$\sum_{k=-\infty}^{{\infty}(k-1)a_{k-1}x}k$$
右边就是原级数：
$$\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_kxk$$

等式两边x的同次幂系数必须相等，因此对任意整数k，有：
$$(k-1)a_{k-1} = a_k$$
也就是递推公式：
$$a_k = (k-1)a_{k-1}$$

• 正幂次项（k≥0）：
  当k=1时，代入递推式得：$(1-1)a_0 = a_1 → 0 = a_1$
  当k≥2时，$a_k=(k-1)a_{k-1}$，因为a₁=0，所以所有k≥1的正幂次系数$a_k=0$；
  当k=0时，$(0-1)a_{-1}=a_0 → a_0 = -a_{-1}$

• 负幂次项（令k=-m，m=1,2,3...）：
  代入递推式得：$(-m-1)a_{-m-1} = a_{-m}$，整理为：
  $$a_{-m-1} = -\frac{a_{-m}}{m+1}$$
  我们从m=1开始推导：

  • m=1：$a_{-2} = -\frac{a_{-1}}{2}$
  • m=2：$a_{-3} = -\frac{a_{-2}}{3} = \frac{a_{-1}}{2×3} = \frac{a_{-1}}{3!}$
  • m=3：$a_{-4} = -\frac{a_{-3}}{4} = -\frac{a_{-1}}{4!}$
    以此类推，得到一般式：
    $$a_{-m} = \frac{(-1)^{m-1}a_{-1}}{m!}$$

现在把所有非零项代入y(x)：
$$y(x) = a_0 + \sum_{m=1}^{{\infty}a_{-m}x}{-m} = -a_{-1} + \sum_{m=1}^{{\infty}\frac{(-1)}{m-1}a_{-1}}{m!}\left(\frac{1}{x}\right)^m$$
提取常数$a_{-1}$：
$$y(x) = a_{-1}\left[ -1 + \sum_{m=1}^{{\infty}\frac{(-1)}{m-1}}{m!}\left(\frac{1}{x}\right)^m \right]$$
回忆指数函数的泰勒展开：$e^z = \sum_{m=0}^{{\infty}\frac{z}m}{m!}$，令$z=-\frac{1}{x}$，则：
$$e^{-1/x} = \sum_{m=0}^{{\infty}\frac{(-1)}m}{m!x^m} = 1 + \sum_{m=1}^{{\infty}\frac{(-1)}m}{m!x^m}$$
我们把级数部分变形：
$$-1 + \sum_{m=1}^{{\infty}\frac{(-1)}{m-1}}{m!x^m} = -1 - \sum_{m=1}^{{\infty}\frac{(-1)}m}{m!x^m} = -\left(1 + \sum_{m=1}^{{\infty}\frac{(-1)}m}{m!x^m}\right) = -e^{-1/x}$$
代入后得到：
$$y(x) = a_{-1}(-e^{-1/x}) = ce^{-1/x}$$
其中$c=-a_{-1}$是任意常数，这就是方程的通解。

其实如果先做变量替换$t=\frac{1}{x}$，会更简单：
$t=\frac{1}{x} → \frac{dt}{dx}=-\frac{1}{x^2} → x^2=-\frac{1}{dt/dx}$
原方程$x^2y'=y$中，$y'=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx} = -\frac{1}{x^2}\frac{dy}{dt}$，代入方程：
$$x^2 \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\frac{dy}{dt}\right) = y → -\frac{dy}{dt}=y → \frac{dy}{dt}=-y$$
这是标准的一阶线性微分方程，通解直接是$y=ce^{-t}=ce{-1/x}$，可以用来验证幂级数推导的结果。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Harshit Gosain