证明中点为整数：整数三元组整除性问题求助

嗨，我来帮你把这个证明补全并梳理清楚～

首先我们明确问题：给定三个整数 (n_1, n_2, n_3)，要证明一定存在两个数（下标满足 (1 \leq k < d \leq 3)），它们的平均值是整数。

顺着你的分情况思路补全证明 #

我们知道，整数只有两种奇偶性：偶数（能被2整除，可表示为 (2m)，(m) 为整数）和奇数（不能被2整除，可表示为 (2m+1)，(m) 为整数）。而两个数的平均值是整数，等价于这两个数的和是偶数——也就是这两个数奇偶性相同。

基于此我们分所有可能的奇偶组合讨论：

• 情况1：三个数全为偶数
  任意两个偶数的和都是偶数（(2a + 2b = 2(a+b))），因此它们的平均值 (a+b) 是整数，满足条件。
• 情况2：三个数全为奇数
  任意两个奇数的和是偶数（((2a+1)+(2b+1)=2(a+b+1))），平均值 (a+b+1) 是整数，满足条件。
• 情况3：两个偶数，一个奇数
  那两个偶数的奇偶性相同，它们的平均值是整数，满足条件。
• 情况4：两个奇数，一个偶数
  那两个奇数的奇偶性相同，它们的平均值是整数，满足条件。

所有可能的奇偶组合都覆盖到了，所以无论三个整数的奇偶性如何，总能找到一对符合要求的数。

更简洁的鸽巢原理思路 #

其实这个问题用鸽巢原理（抽屉原理）会更高效：

鸽巢原理大意：如果把 (n+1) 个物体放进 (n) 个抽屉，那么至少有一个抽屉里会放超过一个物体。

这里我们把“奇偶性”当作2个抽屉，3个整数当作3个物体。把3个整数放进2个抽屉（偶数抽屉、奇数抽屉），至少有一个抽屉里会有至少2个整数。这两个整数的奇偶性相同，它们的平均值自然是整数。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者bluemuse