稳态或平衡温度的物理解释及相关PDE方程疑问

在我的偏微分方程（PDE）教材里，求解非齐次偏微分方程时，是从非齐次热方程入手的，第一步就得先求出平衡温度$u_E(x)$。这个平衡温度有个核心特性——它和时间完全无关，而且必须满足以下方程：
$$\frac{d^2u_E}{dx2} = 0 \tag{A}$$

说实话，这个方程我之前见过好多次，但从来没深入琢磨过它背后的物理意义。我大概能get到它代表系统达到了「温度梯度不随时间变化」的稳定状态，但就是没法把这个直观理解和上面的数学表达式对应起来，比如我总在纠结：为啥二阶导数为零就对应着这种平衡状态？

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Zduff