关于映射$f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$的单射性、像集及逆导数的技术问询

给定映射$f(x, y) = (e^x \cos y, e^x \sin y)$，咱们一步步拆解解决下面三个问题：

• (a) 证明$f$在集合$A = {(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid 0 < y < 2\pi}$上是单射；
• (b) 求集合$B = f(A)$；
• (c) 若$g$是$f$的逆函数，求$Dg(0, 1)$。

(a) 证明$f$在$A$上是单射 #

假设存在两个点$(x_1, y_1), (x_2, y_2) \in A$，使得$f(x_1, y_1) = f(x_2, y_2)$。咱们先从模长入手：

$||f(x_1,y_1)||=||f(x_2,y_2)||$
展开模长的平方，利用三角恒等式$\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$化简：
$$e^{2x_1}(\cos2 y_1 + \sin^2 y_1) = e^{2x_2}(\cos2 y_2 + \sin^2 y_2)$$
$$e^{2x_1} = e^{2x_2}$$
注意到函数$t \mapsto e^{{2t}$是**严格单调递增**的（导数$2e}{2t} > 0$对所有实数t成立），所以它是单射，因此必有$x_1 = x_2$。

把$x_1=x_2$代入$f(x_1,y_1)=f(x_2,y_2)$，得到：
$$(e^{x_1}\cos y_1, e^{x_1}\sin y_1) = (e^{x_1}\cos y_2, e^{x_1}\sin y_2)$$
因为$e^{x_1} > 0$恒成立，两边同时除以$e^{x_1}$，可得：
$$\cos y_1 = \cos y_2, \quad \sin y_1 = \sin y_2$$
这意味着$(cos y_1, sin y_1)$和$(cos y_2, sin y_2)$是单位圆上的同一个点。而$y_1, y_2 \in (0, 2\pi)$，在这个区间内每个角度对应的单位圆点都是唯一的，所以$y_1 = y_2$。

综上，$(x_1,y_1)=(x_2,y_2)$，所以$f$在$A$上是单射。

(b) 求集合$B = f(A)$ #

咱们分析$f(x,y)$的取值特征：
对于任意$(u, v) = f(x, y)$，有$u^2 + v^2 = e^{{2x}$。因为$e}x > 0$对所有实数x成立，所以$u^2 + v^2 > 0$，即$(u, v)$不可能是原点$(0,0)$。

再看角度部分：$y \in (0, 2\pi)$，当x取遍所有实数时，$e^x$取遍所有正实数，而$(\cos y, \sin y)$会遍历单位圆上除了点$(1,0)$以外的所有点（因为$y$取不到0和$2\pi$，对应单位圆上的$(1,0)$）。结合起来，$(u, v) = (e^x \cos y, e^x \sin y)$就是所有满足：

• 非原点（$u^2 + v^2 > 0$）
• 不在正x轴上（即不存在$t>0$使得$(u,v)=(t,0)$）

的平面点。用集合表示就是：
$$B = \mathbb{R}^2 \setminus {(0,0) \cup {(t, 0) \mid t > 0}}$$
简单说就是平面去掉原点和正x轴后的所有点。

(c) 求逆函数$g$的导数$Dg(0,1)$ #

这里用逆函数导数定理：如果$f$在点$(x,y)$处可微且Jacobi矩阵可逆，那么$Dg(f(x,y)) = [Df(x,y)]^{-1}$。

首先找到$(0,1)$在$f$下的原像$(x,y) \in A$：令$f(x,y)=(0,1)$，即：
$$\begin{cases}
e^x \cos y = 0 \
e^x \sin y = 1
\end{cases}$$
因为$e^x > 0$，所以$\cos y = 0$，此时$\sin y = 1/e^x > 0$。结合$y \in (0,2\pi)$，可得$y = \pi/2$，代入第二个方程得$e^x = 1$，即$x=0$。所以原像是$(0, \pi/2)$。

接下来计算$f$在$(0, \pi/2)$处的Jacobi矩阵$Df(x,y)$：
$$Df(x,y) = \begin{pmatrix}
\frac{\partial f_1}{\partial x} & \frac{\partial f_1}{\partial y} \
\frac{\partial f_2}{\partial x} & \frac{\partial f_2}{\partial y}
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
e^x \cos y & -e^x \sin y \
e^x \sin y & e^x \cos y
\end{pmatrix}$$
代入$x=0, y=\pi/2$（此时$\cos \pi/2=0$，$\sin \pi/2=1$，$e^0=1$）：
$$Df(0, \pi/2) = \begin{pmatrix}
0 & -1 \
1 & 0
\end{pmatrix}$$
求这个矩阵的逆：二阶矩阵$\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}$的逆是$\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\-c&a\end{pmatrix}$，这里行列式$ad-bc=0*0 - (-1)*1=1$，所以逆矩阵为：
$$\begin{pmatrix}
0 & 1 \
-1 & 0
\end{pmatrix}$$
根据逆函数导数定理，$Dg(0,1)$就是这个逆矩阵。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Nash