确定随机变量序列{Tₙ}极限分布的PDF或PMF

我来帮你把这个推导过程整理完整并格式化好～

首先明确问题：已知随机变量$T_n$的概率密度函数（pdf）为：
$$f_n(t) = \begin{cases} n; & 0 < t < n^{-1}\ 0; & \text{otherwise} \end{cases}.$$
我们需要求解随机变量序列$T_1, T_2, \cdots$的极限分布的pdf或pmf。

你的推导整理与补全 #

你已经正确写出了$T_n$的累积分布函数（CDF）：
$$F_{T_n}(t) = \begin{cases} 1; & t \geq 1/n \ nt; & 0 < t< 1/n \ 0; & t \leq 0 \end{cases} $$

接下来我们分情况讨论当$n \to \infty$时的极限：

• 对于任意$t > 0$：当$n$足够大时，一定会满足$1/n < t$，此时$F_{T_n}(t)=1$，所以$\lim_{n\to\infty} F_{T_n}(t) = 1$；
• 当$t = 0$时：$F_{T_n}(0)=0$对所有$n$成立，因此$\lim_{n\to\infty} F_{T_n}(0) = 0$；
• 对于任意$t < 0$：$F_{T_n}(t)=0$对所有$n$成立，因此$\lim_{n\to\infty} F_{T_n}(t) = 0$。

综上，极限CDF可以表示为：
$$F(t) = \begin{cases} 1; & t > 0 \ 0; & t \leq 0 \end{cases} $$

这个CDF对应的是退化单点分布：随机变量几乎必然取0值。它没有常规意义上的pdf（因为是离散型的退化分布），其概率质量函数（pmf）为：
$$P(T=0) = 1$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者statrat403