实数域中不收敛但所有收敛子序列均收敛于1的序列是否存在？

完全符合你描述的序列是存在的，我给你举个最容易理解的构造：

定义实数序列 $a_n$ 如下：

• 当 $n$ 为偶数时，$a_n = 1$
• 当 $n$ 为奇数时，$a_n = \frac{n+1}{2}$（展开后就是：1, 2, 1, 3, 1, 4, 1, 5, ...）

接下来我们验证它满足两个核心要求：

1. 原序列不收敛 #

原序列的奇数项构成子序列 $1, 2, 3, 4, ...$，这个子序列会趋向正无穷，没有极限。而收敛序列的所有子序列必须收敛到同一个极限，因此原序列必然是发散的。

2. 所有收敛子序列都收敛于1 #

假设我们取原序列的任意一个收敛子序列 $a_{n_k}$：
如果这个子序列包含无穷多个奇数项，那么对应的项会是越来越大的正整数，子序列会趋向无穷，不可能收敛。因此收敛的子序列只能包含有限个奇数项，剩下的无穷多项都是偶数项（也就是1）。当 $k$ 足够大时，$a_{n_k} = 1$，所以这个子序列的极限必然是1。

你也可以灵活调整构造思路：比如把奇数项换成任何趋向无穷的序列（比如 $n^2$、$e^n$ 都行），只要偶数项固定为1，得到的序列都会满足你的要求。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Justtryingtodomath