确定随机变量序列$T_n$极限分布的PDF或PMF

咱们来一步步推导这个问题哈～已知随机变量$T_n$的概率密度函数（PDF）是：
$$f_n(t) = \begin{cases} n; & 0 < t < n^{-1}\ 0; & \text{otherwise} \end{cases}$$

接下来咱们顺着你给出的思路继续完成推导，找出序列$T_1, T_2, \cdots$的极限分布：

第一步：明确$T_n$的累积分布函数（CDF） #

你已经算对啦，$T_n$的支撑集是$(0, 1/n)$，所以它的CDF是分段函数：
$$F_{T_n}(t) = \begin{cases} 1; & t \geq 1/n \ nt; & 0 < t< 1/n \ 0; & t \leq 0 \end{cases}$$

第二步：求$n$趋于无穷时CDF的极限 #

咱们分三种情况讨论这个极限：

• 当$t > 0$时：只要$n$足够大，$1/n$肯定会小于$t$，这时候$F_{T_n}(t)=1$，所以$\lim_{n\to\infty} F_{T_n}(t) = 1$；
• 当$t = 0$时：不管$n$多大，$F_{T_n}(0)=0$，所以极限就是0；
• 当$t < 0$时：同样，所有$F_{T_n}(t)$都等于0，极限自然也是0。

把这些情况整合起来，极限CDF就是：
$$F(t) = \begin{cases} 1; & t > 0 \ 0; & t \leq 0 \end{cases}$$

第三步：确定极限分布的形式 #

这个极限CDF对应的是退化分布（点分布），简单来说就是随机变量几乎必然等于0——也就是说$T_n$依分布收敛到0。

因为这是离散的退化分布，它没有概率密度函数（PDF），但概率质量函数（PMF）很明确：
$$P(X=0) = 1$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者statrat403