求极坐标曲线$r(\theta)=2\cos2\theta$在$r>0$时的定义域

没错，你对这里“定义域”的理解完全正确——就是要找出所有使得$r(\theta)>0$的$\theta$取值范围！下面是完整清晰的推导过程：

推导步骤 #

要满足$r(\theta)>0$，我们逐步推导：
$$
\begin{align*}
r(\theta) &> 0 \
2\cos2\theta &> 0 \
\cos2\theta &> 0
\end{align*}
$$

我们知道余弦函数$\cos x > 0$时，$x$的取值范围是：
$$x \in \left(-\frac{\pi}{2} + 2k\pi,\ \frac{\pi}{2} + 2k\pi\right),\ k \in \mathbb{Z}$$

把$x=2\theta$代入上述区间，得到：
$$-\frac{\pi}{2} + 2k\pi < 2\theta < \frac{\pi}{2} + 2k\pi$$

将不等式各项同时除以2，最终化简得到$\theta$的定义域：
$$\theta \in \left(-\frac{\pi}{4} + k\pi,\ \frac{\pi}{4} + k\pi\right),\ k \in \mathbb{Z}$$

图像相关补充 #

这个函数对应的图像是四叶玫瑰线，当$\theta$落在上面的区间时，$r>0$，对应玫瑰线的四个叶片部分（每个$k$值对应一个叶片的$\theta$范围）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Jose