问询：无法由纤维丛及保纤维同伦等价构造的纤维化实例

嘿，我来帮你梳理这两个问题，都是代数拓扑里纤维化和纤维丛的经典区分点：

纤维化只需要满足同伦提升性质（HLP），而纤维丛要求更强的局部平凡性——简单说就是局部看起来像“底空间开集×纤维”，所以有不少纤维化压根不是纤维丛，举两个直观的例子：

• 映射柱纤维化：拿圆周$S^1$当底空间，取一个度数为2的映射$f: S^1 \to S^1$（比如把每个点$z$映射到$z^2$），构造它的映射柱$M_f$——就是把$S^1 \times [0,1]$的一端按$f$粘到另一个$S^1$上。投影$p: M_f \to S^1$是标准的纤维化，但它绝对不是纤维丛：在$S^1$的基点处，纤维是整个$S^1$（对应$S^1 \times \{0\}$），但在其他点，纤维就是个单点（对应$S^1 \times \{1\}$粘合后的点）。纤维丛要求所有局部纤维都同胚，这明显不满足，所以这是个纯纤维化、非纤维丛的典型例子。

• 夏威夷耳环上的“坏”纤维化：底空间用夏威夷耳环$HE$——就是可数个嵌套的圆，都交于原点。构造一个纤维化$p: E \to HE$，让每个小圆$S_n^1$上的限制都是Hopf纤维丛（纤维是$S^1$），但总空间$E$没法做成纤维丛：因为夏威夷耳环在原点处不是局部可缩的，找不到原点的邻域$U$，使得$p^{-1}(U)$同胚于$U \times S^1$，不满足局部平凡性，但它确实符合同伦提升性质，是个正经的纤维化。

答案是肯定存在，这类纤维化的关键是：它们和任何纤维丛都没法构成保纤维同伦等价。

还是用夏威夷耳环当底空间，构造一个特殊的纤维化$p: F \to HE$：

• 对每个小圆$S_n^1$，限制在它上面的纤维化是“扭曲”的——比如纤维还是$S^1$，但总空间$p^{-1}(S_n^1)$的基本群是$\mathbb{Z} \ast \mathbb{Z}$（而普通Hopf纤维丛的总空间基本群是$\mathbb{Z}$）。
• 把这些局部纤维化粘合起来，确保整体满足同伦提升性质。

现在，任何纤维丛$q: E \to HE$的总空间$E$，它的基本群在局部都是自由群（因为纤维丛局部平凡，$q^{-1}(U) \cong U \times F$，$U$是HE的开集，$\pi_1(U)$是自由群，直积后还是自由群或自由群的直积）。但我们构造的$F$的基本群在原点附近不是自由群，所以$F$和任何纤维丛的总空间都不可能保纤维同伦等价——毕竟保纤维同伦等价会诱导总空间的基本群同构。

这就意味着，这个纤维化$p: F \to HE$没法通过你说的构造得到：因为构造要求存在一个纤维丛$E \to B$，且$E$和$F$保纤维同伦等价，但这里根本不存在这样的纤维丛。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者deepfloe